Was ist Normalverteilung?

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung mit symmetrischer Glockenform um den Mittelwert μ, deren Form durch den Mittelwert μ und die Standardabweichung σ bestimmt ist; auch Gauß-Verteilung genannt. Innerhalb von ±1σ um den Mittelwert liegen etwa 68 %, innerhalb von ±2σ etwa 95 % und innerhalb von ±3σ etwa 99,7 %. Größen, die sich als Summe vieler kleiner unabhängiger Einflüsse ergeben, nähern sich der Normalverteilung an (zentraler Grenzwertsatz); sie dient daher vielfach als Modell für Messfehler und Fertigungsstreuungen. Standardisiert man mit z = (x − μ) ÷ σ, erhält man die Standardnormalverteilung mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1.

Japanische Bezeichnung: 正規分布

„Normalverteilung“ kommt in 4 Übungsfragen aus 2 Themen vor, z. B. Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik und Warteschlangen, Ausbeute und Qualitätskontrolle.

Fachgebiet: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik und Warteschlangen

Form und Eigenschaften

Die Normalverteilung hat die Form einer Glocke, die beim Mittelwert am höchsten ist und mit zunehmendem Abstand vom Mittelwert rasch abfällt. Ändert man den Mittelwert, verschiebt sich die Kurve unverändert nach links oder rechts; vergrößert man die Standardabweichung, wird sie flacher und breiter. Innerhalb von ±1σ, ±2σ und ±3σ um den Mittelwert liegen etwa 68,3 %, 95,4 % bzw. 99,7 %; wer sich diese „68-95-99,7-Regel“ merkt, kann Streuungen schnell abschätzen.

Standardisierung und Standardnormalverteilung

Jede Normalverteilung, gleich mit welchem Mittelwert und welcher Standardabweichung, wird durch die Transformation z = (x − μ) ÷ σ zur Standardnormalverteilung mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1. Da z angibt, um wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt, lassen sich so auch Daten mit unterschiedlichen Einheiten oder Mittelwerten vergleichen. Tabellen der Normalverteilung (Tabellen der kumulierten Wahrscheinlichkeiten) beziehen sich auf diese Standardnormalverteilung; der beidseitige 95-%-Bereich ist zum Beispiel ±1,96.

Warum sie so häufig auftritt

Größen, die sich als Summe vieler kleiner unabhängiger Einflüsse ergeben, nähern sich unabhängig von der Verteilung der einzelnen Einflüsse der Normalverteilung an (zentraler Grenzwertsatz). Deshalb sind Messfehler oder Maße, in denen sich viele kleine Streuungen aus zahlreichen Prozessschritten aufsummieren, annähernd normalverteilt. Dass sich die Verteilung des Stichprobenmittelwerts durch eine Normalverteilung nähern lässt, ist auch die Grundlage für die Berechnung von Konfidenzintervallen und Hypothesentests.

Jetzt üben: Fragen zu Normalverteilung

Ein Maß eines Bauteils folgt einer Normalverteilung mit dem Mittelwert 50,0 mm und der Standardabweichung 0,1 mm. Welcher Wert liegt dem Anteil der Bauteile am nächsten, deren Maß zwischen 49,7 mm und 50,3 mm liegt?

AEtwa 68 %
BEtwa 95 %
CEtwa 99,7 %

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Antwort: C. Etwa 99,7 %

49,7 bis 50,3 mm ist der Bereich ±0,3 mm um den Mittelwert, also ±3 Standardabweichungen (±3σ). Bei einer Normalverteilung liegen etwa 68 % innerhalb von ±1σ um den Mittelwert, etwa 95 % innerhalb von ±2σ und etwa 99,7 % innerhalb von ±3σ (68-95-99,7-Regel). Der Anteil in diesem Bereich beträgt daher etwa 99,7 %.

Die Verzögerung eines Schaltungspfads streut von Chip zu Chip normalverteilt mit dem Mittelwert 940 ps und der Standardabweichung 30 ps. Der Anteil innerhalb von ±2σ um den Mittelwert betrage bei einer Normalverteilung etwa 95,4 %. Welcher Wert liegt dem Anteil der Chips am nächsten, deren Verzögerung die Taktperiode von 1000 ps überschreitet?

AEtwa 2,3 %
BEtwa 4,6 %
CEtwa 95,4 %

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Antwort: A. Etwa 2,3 %

Die Standardisierung ergibt z = (1000 − 940) ÷ 30 = 2; gesucht ist also der Anteil der Chips oberhalb von +2σ über dem Mittelwert. Außerhalb von ±2σ liegen 100 − 95,4 = 4,6 %, und da die Normalverteilung symmetrisch ist, entfallen auf die obere Seite allein 4,6 ÷ 2 = 2,3 %. Behandelt man die Streuung der Verzögerung so als Wahrscheinlichkeitsverteilung, lässt sich der Anteil der Chips abschätzen, die das Timing nicht einhalten.

Häufige Fragen

Was hat das „3σ“ der Prozesslenkung damit zu tun?

Ist ein Prozess stabil und normalverteilt, liegt ein Punkt einer Regelkarte allein durch zufällige Streuung nur mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 0,27 % außerhalb von Mittelwert ±3σ. Deshalb zieht man die Eingriffsgrenzen bei ±3σ und wertet Punkte außerhalb als wahrscheinlich nicht zufällige Abweichung. Auch Six Sigma beruht auf dem Gedanken, wie viele Standardabweichungen Abstand bis zu den Spezifikationsgrenzen eingehalten werden.

Darf man beliebige Daten als normalverteilt ansehen?

Nein. Viele Daten folgen keiner Normalverteilung: Die Lebensdauer von Bauteilen etwa folgt einer Lognormal- oder Weibull-Verteilung, Zwischenankunftszeiten einer Exponentialverteilung und die Anzahl seltener Ereignisse einer Poisson-Verteilung. Besonders die Wahrscheinlichkeiten in den „Ausläufern“ weit vom Mittelwert können sich je nach Verteilungsform um Größenordnungen unterscheiden. Man zeichnet daher zuerst ein Histogramm, prüft die Form und entscheidet dann, ob die Normalverteilung angemessen ist.

„Normalverteilung“ in den Erläuterungen

Bei einer Normalverteilung liegen etwa 68 % innerhalb von ±1σ um den Mittelwert, etwa 95 % innerhalb von ±2σ und etwa 99,7 % innerhalb von ±3σ (68-95-99,7-Regel).
Ein Maß eines Bauteils folgt einer Normalverteilung mit dem…
Außerhalb von ±2σ liegen 100 − 95,4 = 4,6 %, und da die Normalverteilung symmetrisch ist, entfallen auf die obere Seite allein 4,6 ÷ 2 = 2,3 %.
Die Verzögerung eines Schaltungspfads streut von Chip zu Ch…
Bei einer Normalverteilung ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt allein durch zufällige Streuung außerhalb liegt, mit etwa 0,27 % gering; liegt er außerhalb, wird auf eine Störung im Prozess geschlossen.
Wie werden bei der in der Prozessführung verwendeten Regelk…