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Qu'est-ce que Espérance (espérance mathématique) ?

Valeur que prend en moyenne une grandeur déterminée par le hasard. On l'obtient en multipliant chaque valeur possible par sa probabilité et en additionnant les résultats. Par exemple, l'espérance de la valeur d'un dé est (1 + 2 + … + 6) ÷ 6 = 3,5. L'espérance d'une somme est la somme des espérances (linéarité de l'espérance), même pour des grandeurs qui ne sont pas indépendantes. Elle sert à comparer des contre-mesures d'après l'espérance des pertes, à la prise de décision et aux calculs de moyennes dans les files d'attente.

Nom japonais: 期待値

« Espérance (espérance mathématique) » apparaît dans 9 questions d'entraînement réparties sur 6 thèmes, dont Probabilités, statistiques et files d'attente, Fiabilité, Bases de la stratégie d'entreprise et de la comptabilité.

Domaine: Probabilités, statistiques et files d'attente

S'entraîner : questions sur Espérance (espérance mathématique)

En utilisant 10 000 composants de taux de défaillance 100 FIT, quelle valeur est la plus proche de l'espérance du nombre de défaillances en un an (environ 8 760 heures) ? (1 FIT = une défaillance pour 10⁹ heures)

  1. AEnviron 900
  2. BEnviron 9
  3. CEnviron 0,009
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Réponse : B. Environ 9

100 FIT correspond à 100 défaillances pour 10⁹ heures, soit un taux de 10⁻⁷ défaillance par heure. 10 000 pièces × 8 760 heures = 8,76 × 10⁷ heures-composants, d'où une espérance de 8,76 × 10⁷ × 10⁻⁷ ≈ 8,8 défaillances, soit environ 9. Environ 900 correspond à une confusion avec un taux de 10⁻⁵/heure, environ 0,009 avec 10⁻¹⁰/heure. Dans les systèmes utilisant de nombreux composants, le nombre de défaillances n'est pas négligeable même avec un faible taux en FIT.

Il y a 1000 billets de loterie à 50 yens l'unité : un billet gagne un lot de 10 000 yens, 10 billets gagnent un lot de 1000 yens, et les autres ne gagnent rien. Quelle est l'espérance du gain par billet ?

  1. A−30 yens
  2. B11 yens
  3. C20 yens
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Réponse : C. 20 yens

L'espérance est la somme de chaque valeur multipliée par la probabilité de cette valeur. La probabilité de gagner 10 000 yens est 1/1000 et celle de gagner 1000 yens est 10/1000, donc 10 000 × 1/1000 + 1000 × 10/1000 = 10 + 10 = 20 yens. En retranchant le prix du billet, 50 yens, l'espérance du bénéfice ou de la perte est de −30 yens par billet.

« Espérance (espérance mathématique) » dans les explications

Questions mentionnant « Espérance (espérance mathématique) » (9)

  1. En utilisant 10 000 composants de taux de défaillance 100 FIT, quelle valeur est la plus proche de l'espérance du nombre de défaillances en un an (environ 8 760 heures) ? (1 FIT = une défaillance pour 10⁹ heures)
  2. Il y a 1000 billets de loterie à 50 yens l'unité : un billet gagne un lot de 10 000 yens, 10 billets gagnent un lot de 1000 yens, et les autres ne gagnent rien. Quelle est l'espérance du gain par billet ?
  3. La fabrication d'une puce coûte 300 yens. Une puce bonne se vend 500 yens, et une puce défectueuse est invendable et mise au rebut. Si la probabilité qu'une puce soit bonne est de 80 %, quelle est l'espérance du bénéfice par puce fabriquée ?
  4. On range 10 clés dans une table de hachage de 100 compartiments. Chaque clé est affectée indépendamment à l'un des 100 compartiments avec la même probabilité. Quelle est l'espérance du nombre de paires de clés affectées au même compartiment ?
  5. On arrive à un arrêt desservi par un bus toutes les 10 minutes à un instant quelconque, sans consulter les horaires. Le temps d'attente suit une loi uniforme entre 0 et 10 minutes. Quelle combinaison de l'espérance du temps d'attente et de la probabilité que l'attente soit de 3 minutes ou moins est correcte ?
  6. Une entreprise envisage d'investir dans une nouvelle ligne de production. Un gros investissement (1 milliard de yens) devrait rapporter des recettes de 2,5 milliards de yens si la demande est forte (probabilité 0,6) et de 800 millions de yens si elle est faible (probabilité 0,4). Un petit investissement (400 millions de yens) rapporte 700 millions de yens si la demande est faible ; si la demande est forte, il rapporte 1,2 milliard de yens en l'état, mais un investissement complémentaire de 500 millions de yens à ce moment-là porte les recettes à 2,2 milliards de yens. Si l'on adopte la politique qui maximise l'espérance du bénéfice (recettes moins investissements), quelle est cette espérance ?
  7. Quelle affirmation est correcte lorsque l'on décompose l'erreur d'un modèle en biais et en variance (dispersion) ?
  8. Pour un système d'information, on estime qu'un incident causant à chaque fois une perte de 20 millions de yens se produit 0,1 fois par an. Une contre-mesure coûtant 0,5 million de yens par an ramènerait cette fréquence à 0,02 fois par an. Quel est le gain net annuel de cette contre-mesure (diminution de la perte attendue moins le coût de la contre-mesure) ?
  9. Une estimation à trois points de la durée d'une activité donne une valeur optimiste de 4 jours, une valeur la plus probable de 7 jours et une valeur pessimiste de 16 jours. Quelle est la durée espérée donnée par la formule PERT ?

Termes associés

FIT Table de hachage (hash table) Surapprentissage (overfitting) Validation croisée (cross-validation) Écart type Arrangements et combinaisons Coefficient de corrélation Intervalle de confiance Loi binomiale Loi de Poisson

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