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Was ist Erwartungswert?

Der Wert, den eine zufällig bestimmte Größe im Mittel annimmt. Man berechnet ihn, indem man jeden möglichen Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit multipliziert und alles addiert. Der Erwartungswert der Augenzahl eines Würfels beträgt zum Beispiel (1 + 2 + … + 6) ÷ 6 = 3,5. Der Erwartungswert einer Summe ist die Summe der Erwartungswerte (Linearität des Erwartungswerts); das gilt auch für Größen, die nicht voneinander unabhängig sind. Verwendet wird er etwa zum Vergleich von Maßnahmen anhand des erwarteten Schadens, für Entscheidungen und zur Berechnung von Mittelwerten in der Warteschlangentheorie.

Japanische Bezeichnung: 期待値

„Erwartungswert“ kommt in 8 Übungsfragen aus 5 Themen vor, z. B. Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik und Warteschlangen, Grundlagen von Unternehmensstrategie und Rechnungswesen, Grundlagen des maschinellen Lernens.

Fachgebiet: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik und Warteschlangen

Jetzt üben: Fragen zu Erwartungswert

Es gibt 1000 Lose zu je 50 Yen: 1 Los gewinnt 10.000 Yen, 10 Lose gewinnen je 1000 Yen, die übrigen sind Nieten. Wie groß ist der Erwartungswert des Gewinns pro Los?

  1. A−30 Yen
  2. B11 Yen
  3. C20 Yen
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Antwort: C. 20 Yen

Der Erwartungswert ist die Summe aller Werte, jeweils multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit dieses Werts. Die Wahrscheinlichkeit für 10.000 Yen beträgt 1/1000, die für 1000 Yen 10/1000; also 10.000 × 1/1000 + 1000 × 10/1000 = 10 + 10 = 20 Yen. Zieht man den Lospreis von 50 Yen ab, ergibt sich ein erwarteter Gewinn bzw. Verlust von −30 Yen pro Los.

Die Herstellung eines Chips kostet 300 Yen. Ein guter Chip wird für 500 Yen verkauft, ein defekter Chip ist unverkäuflich und wird entsorgt. Ein Chip ist mit der Wahrscheinlichkeit 80 % gut. Wie groß ist der Erwartungswert des Gewinns pro hergestelltem Chip?

  1. A100 Yen
  2. B160 Yen
  3. C200 Yen
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Antwort: A. 100 Yen

Der Erwartungswert des Umsatzes beträgt 500 × 0,8 + 0 × 0,2 = 400 Yen, und die Herstellungskosten von 300 Yen fallen für gute wie für defekte Chips an; der Erwartungswert des Gewinns ist also 400 − 300 = 100 Yen. Rechnet man mit +200 Yen für einen guten und −300 Yen für einen defekten Chip, erhält man dasselbe: 200 × 0,8 + (−300) × 0,2 = 160 − 60 = 100 Yen.

„Erwartungswert“ in den Erläuterungen

Fragen mit „Erwartungswert“ (8)

  1. Es gibt 1000 Lose zu je 50 Yen: 1 Los gewinnt 10.000 Yen, 10 Lose gewinnen je 1000 Yen, die übrigen sind Nieten. Wie groß ist der Erwartungswert des Gewinns pro Los?
  2. Die Herstellung eines Chips kostet 300 Yen. Ein guter Chip wird für 500 Yen verkauft, ein defekter Chip ist unverkäuflich und wird entsorgt. Ein Chip ist mit der Wahrscheinlichkeit 80 % gut. Wie groß ist der Erwartungswert des Gewinns pro hergestelltem Chip?
  3. 10 Schlüssel werden in eine Hashtabelle mit 100 Buckets eingefügt. Jeder Schlüssel wird unabhängig von den anderen mit gleicher Wahrscheinlichkeit einem der 100 Buckets zugeordnet. Wie groß ist der Erwartungswert der Anzahl der Schlüsselpaare, die demselben Bucket zugeordnet werden?
  4. An einer Haltestelle fährt alle 10 Minuten ein Bus. Man kommt ohne Blick auf den Fahrplan zu einem zufälligen Zeitpunkt an, und die Wartezeit ist zwischen 0 und 10 Minuten gleichverteilt. Welche Kombination aus dem Erwartungswert der Wartezeit und der Wahrscheinlichkeit, höchstens 3 Minuten zu warten, ist richtig?
  5. Ein Unternehmen erwägt eine Investition in eine neue Fertigungslinie. Bei einer großen Investition (1 Milliarde Yen) werden bei hoher Nachfrage (Wahrscheinlichkeit 0,6) Einnahmen von 2,5 Milliarden Yen und bei niedriger Nachfrage (Wahrscheinlichkeit 0,4) von 800 Millionen Yen erwartet. Eine kleine Investition (400 Millionen Yen) bringt bei niedriger Nachfrage Einnahmen von 700 Millionen Yen; bei hoher Nachfrage bringt sie unverändert 1,2 Milliarden Yen, eine Zusatzinvestition von 500 Millionen Yen zu diesem Zeitpunkt steigert die Einnahmen aber auf 2,2 Milliarden Yen. Welcher Erwartungswert ergibt sich, wenn die Strategie gewählt wird, die den erwarteten Gewinn (Einnahmen minus Investition) maximiert?
  6. Welche Aussage ist zutreffend, wenn man den Fehler eines Modells in Bias (Verzerrung) und Varianz (Streuung) zerlegt?
  7. Für ein IT-System wird geschätzt, dass ein Vorfall mit einem Verlust von 20 Millionen Yen pro Ereignis 0,1-mal pro Jahr auftritt. Eine Maßnahme, die jährlich 0,5 Millionen Yen kostet, würde die Häufigkeit auf 0,02-mal pro Jahr senken. Wie hoch ist der jährliche Nettonutzen dieser Maßnahme (Verringerung des erwarteten Verlusts abzüglich der Kosten der Maßnahme)?
  8. Eine Drei-Punkt-Schätzung der Dauer eines Vorgangs ergibt einen optimistischen Wert von 4 Tagen, einen wahrscheinlichsten Wert von 7 Tagen und einen pessimistischen Wert von 16 Tagen. Welche erwartete Dauer liefert die PERT-Formel?

Verwandte Begriffe

Hashtabelle (Hash Table) Überanpassung (Overfitting) Kreuzvalidierung Standardabweichung Bedingte Wahrscheinlichkeit Binomialverteilung Exponentialverteilung Hypothesentest Konfidenzintervall Korrelationskoeffizient

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