Qu'est-ce que Théorie des files d'attente ?
Théorie qui représente par des modèles probabilistes l'arrivée de demandes de traitement à un guichet ou à un serveur, leur attente jusqu'à ce qu'il se libère et leur traitement, afin de calculer les temps d'attente et la longueur des files. On décrit un modèle par la notation de Kendall, qui aligne la loi des arrivées, la loi des temps de service et le nombre de guichets, comme « M/M/1 ». Dans le modèle M/M/1, avec le taux d'utilisation ρ = taux d'arrivée λ × temps de service moyen Ts, le temps d'attente moyen vaut ρ/(1 − ρ) × Ts. Elle sert à l'évaluation des performances des ordinateurs, à l'analyse des délais dans les réseaux et à celle des en-cours dans les usines.
Nom japonais: 待ち行列理論
« Théorie des files d'attente » apparaît dans 6 questions d'entraînement réparties sur 1 thèmes, dont Probabilités, statistiques et files d'attente.
Domaine: Probabilités, statistiques et files d'attente
Formules de base
Le taux d'utilisation ρ = λ × Ts est la proportion du temps pendant laquelle le guichet est occupé. En M/M/1, le temps d'attente moyen vaut Wq = ρ/(1 − ρ) × Ts, le temps de réponse moyen W = Wq + Ts = Ts/(1 − ρ) et le nombre moyen de clients dans le système L = ρ/(1 − ρ). Ces grandeurs sont liées par la loi de Little L = λW ; par exemple, avec λ = 3 par minute et Ts = 15 secondes, on obtient ρ = 0,75, Wq = 45 secondes, W = 60 secondes et L = 3.
Taux d'utilisation et temps d'attente
Le rapport Wq ÷ Ts = ρ/(1 − ρ) vaut 1 pour un taux d'utilisation de 0,5, 4 pour 0,8, 9 pour 0,9 et 19 pour 0,95 : il augmente brusquement à mesure que le taux d'utilisation s'approche de 1. C'est que le temps libre 1 − ρ, qui permet de résorber les files formées lorsque des arrivées se groupent par hasard, se réduit. Les systèmes pour lesquels le temps de réponse est important sont donc conçus avec une marge sur le taux d'utilisation.
Questions fréquentes
Que faire lorsque les hypothèses du modèle M/M/1 ne sont pas vérifiées ?
On utilise un modèle plus proche de la réalité, comme M/D/1 si le temps de service est constant. Le temps d'attente moyen en M/D/1 vaut exactement la moitié de celui de M/M/1 : moins les temps de service sont dispersés, plus l'attente est courte. Pour les systèmes complexes, on vérifie souvent par simulation ; dans tous les cas, la loi de Little reste valable.
Vaut-il mieux ajouter un guichet ou rendre le guichet plus rapide ?
À capacité totale égale, un seul guichet deux fois plus rapide donne un temps de réponse moyen plus court que deux guichets (M/M/2, partageant une seule file). En revanche, si l'on ne compare que le temps passé à attendre dans la file, deux guichets font mieux. Avec deux guichets, si chacun a sa propre file, il peut arriver qu'un client attende devant l'un alors que l'autre est libre ; l'attente est alors plus longue qu'avec une file unique partagée.