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Qu'est-ce que Loi exponentielle ?

Loi de probabilité continue suivie par l'intervalle entre des événements qui surviennent au hasard, ou par le temps jusqu'à la défaillance d'un composant dont le taux de défaillance est constant. Si le taux d'occurrence vaut λ, la probabilité que rien ne se produise avant l'instant t vaut e^(−λt), et la moyenne vaut 1/λ. Elle est sans mémoire : la loi du temps restant ne dépend pas du temps déjà écoulé. Elle sert de modèle aux intervalles entre arrivées lorsque le nombre d'arrivées suit une loi de Poisson et au temps jusqu'à la défaillance pendant la période des défaillances aléatoires, et elle est aussi l'une des hypothèses du modèle de file d'attente M/M/1.

Nom japonais: 指数分布

« Loi exponentielle » apparaît dans 3 questions d'entraînement réparties sur 2 thèmes, dont Probabilités, statistiques et files d'attente, Fiabilité.

Domaine: Probabilités, statistiques et files d'attente

S'entraîner : questions sur Loi exponentielle

Le temps jusqu'à la défaillance d'un équipement suit une loi exponentielle de moyenne 1000 heures. On prend e^(−0,5) ≈ 0,61, e^(−1) ≈ 0,37 et e^(−1,5) ≈ 0,22. Sachant que l'équipement a fonctionné 500 heures sans défaillance, quelle valeur est la plus proche de la probabilité qu'il fonctionne encore au moins 1000 heures sans défaillance ?

  1. A0,22
  2. B0,37
  3. C0,61
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Réponse : B. 0,37

La loi exponentielle est sans mémoire : la loi du temps restant ne dépend pas du temps déjà écoulé. La probabilité de fonctionner encore au moins 1000 heures après 500 heures est donc la même que la probabilité qu'un équipement neuf fonctionne au moins 1000 heures, e^(−1) ≈ 0,37. Le calcul comme probabilité conditionnelle donne aussi P(T > 1500) ÷ P(T > 500) = e^(−1,5) ÷ e^(−0,5) = e^(−1). Les composants en période de défaillances aléatoires, où le taux de défaillance est constant, ne deviennent donc pas plus fragiles à mesure qu'ils sont utilisés.

« Loi exponentielle » dans les explications

Questions mentionnant « Loi exponentielle » (3)

  1. Le temps jusqu'à la défaillance d'un équipement suit une loi exponentielle de moyenne 1000 heures. On prend e^(−0,5) ≈ 0,61, e^(−1) ≈ 0,37 et e^(−1,5) ≈ 0,22. Sachant que l'équipement a fonctionné 500 heures sans défaillance, quelle valeur est la plus proche de la probabilité qu'il fonctionne encore au moins 1000 heures sans défaillance ?
  2. Pour un taux de défaillance λ constant, quelle expression donne la probabilité de ne pas défaillir jusqu'au temps t (fiabilité) R(t) ?
  3. Des requêtes parviennent à un serveur selon des arrivées poissoniennes (arrivées aléatoires et indépendantes), à raison de 6 par minute en moyenne. Quelle combinaison de la loi suivie par les intervalles entre arrivées et de leur moyenne est appropriée ?

Termes associés

Probabilité conditionnelle MTTF (durée moyenne avant défaillance) Théorie des files d'attente Arrangements et combinaisons Coefficient de corrélation Écart type Espérance (espérance mathématique) Intervalle de confiance Loi binomiale Loi de Poisson

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