FIR- vs. IIR-Filter: Aufbau, Stabilität, Phase, Filterordnung und Rechenaufwand
Beide sind digitale Filter, die den Frequenzgang eines Signals formen, unterscheiden sich aber darin, ob vergangene Ausgaben in die Berechnung eingehen. Ein FIR-Filter (Filter mit endlicher Impulsantwort) multipliziert nur die aktuelle und vergangene Eingaben mit Koeffizienten und summiert sie, daher endet seine Impulsantwort nach so vielen Abtastwerten, wie es Taps hat. Ein IIR-Filter (Filter mit unendlicher Impulsantwort) führt auch vergangene Ausgaben in die Berechnung zurück, daher läuft seine Impulsantwort theoretisch unendlich weiter. Ein FIR-Filter ist immer stabil und wird mit symmetrischen Koeffizienten linearphasig, braucht für einen steilen Frequenzgang aber viele Taps. Ein IIR-Filter erreicht einen steilen Frequenzgang mit niedriger Ordnung, doch seine Phase ist nicht linear, und je nach Lage seiner Pole kann es instabil werden.
| Merkmal | FIR-Filter | IIR-Filter |
|---|---|---|
| Differenzengleichung und Impulsantwort | y[n] = Σh[k]x[n − k]: eine gewichtete Summe nur der Eingaben; die Impulsantwort endet nach N Taps | y[n] = Σb[k]x[n − k] − Σa[k]y[n − k]: vergangene Ausgaben werden zurückgeführt, und die Impulsantwort klingt ab, läuft aber weiter |
| Übertragungsfunktion H(z) und Stabilität | Kein Nenner; die einzigen Pole liegen bei z = 0, daher unabhängig von den Koeffizienten immer stabil | Hat einen Nenner; nur stabil, wenn alle Pole innerhalb des Einheitskreises liegen |
| Phasengang | Linearphasig bei symmetrischen Koeffizienten; die Gruppenlaufzeit beträgt bei jeder Frequenz (N − 1)/2 Abtastwerte | Nicht linearphasig; die Gruppenlaufzeit ändert sich mit der Frequenz und wächst nahe der Grenzfrequenz |
| Nötige Ordnung für dieselbe Spezifikation (Beispiel) | Für einen Tiefpass bei fs = 48 kHz mit Durchlassbereichsgrenze 4 kHz, Sperrbereichsgrenze 5 kHz, 60 dB Dämpfung und 0,5 dB Welligkeit im Durchlassbereich braucht ein Equiripple-Entwurf etwa 110 Taps | Ein elliptisches Filter, das dieselbe Spezifikation erfüllt, hat die Ordnung 7 (4 Abschnitte zweiter Ordnung) |
| Rechenaufwand pro Ausgangsabtastwert | So viele Multiply-Accumulate-Operationen wie Taps: im Beispiel etwa 110 (die Symmetrie halbiert die Multiplikationen ungefähr) | Etwa 5 Multiplikationen pro Abschnitt zweiter Ordnung: im Beispiel etwa 20 |
| Verzögerung | Konstant (N − 1)/2 Abtastwerte: im Beispiel etwa 56 Abtastwerte (etwa 1,2 ms) | Ändert sich mit der Frequenz: im Beispiel etwa 9 Abtastwerte bei niedrigen Frequenzen und etwa 75 Abtastwerte an der Durchlassbereichsgrenze |
| Koeffizientenquantisierung (Festkomma) | Der Frequenzgang ändert sich leicht, die Stabilität geht aber nie verloren | Eine Gleichung hoher Ordnung direkt zu implementieren kann Pole verschieben und Instabilität verursachen; implementiert wird es als Kaskade von Abschnitten zweiter Ordnung (Biquads) |
| Wichtigste Entwurfsverfahren | Fenstermethode, Equiripple-Verfahren (Parks-McClellan) | Bilineare Transformation der Übertragungsfunktion eines Analogfilters (Butterworth, Tschebyscheff, elliptisch u. a.) |
| Typischer Einsatz | Kommunikation und Messtechnik, bei denen die Kurvenform erhalten bleiben muss, Audio- und Bildverarbeitung, Dezimations- und Interpolationsfilter, adaptive Filter | Eingebettete Geräte, die Rechenaufwand und Speicher sparen müssen, Audio-Equalizer, Gleichanteilentfernung und exponentielle Glättung |
Die Zahlenwerte sind typische Größenordnungen und variieren je nach Prozessgeneration und Produkt.