Nederlands
Menu

Wat is Normale verdeling?

Een continue kansverdeling met een symmetrische klokvorm rond het gemiddelde μ, waarvan de vorm wordt bepaald door het gemiddelde μ en de standaardafwijking σ. Ze wordt ook gaussverdeling genoemd. Ongeveer 68% ligt binnen het gemiddelde ±1σ, ongeveer 95% binnen ±2σ en ongeveer 99,7% binnen ±3σ. Een grootheid die ontstaat door veel kleine onafhankelijke factoren op te tellen, benadert een normale verdeling (de centrale limietstelling), zodat ze veel wordt gebruikt als model voor meetfouten en productiespreiding. Standaardiseren met z = (x − μ) ÷ σ geeft de standaardnormale verdeling met gemiddelde 0 en standaardafwijking 1.

Japanse benaming: 正規分布

“Normale verdeling” komt voor in 4 oefenvragen uit 2 onderwerpen, bijv. Kansrekening, statistiek en wachtrijen, Opbrengst en kwaliteitsbeheersing.

Vakgebied: Kansrekening, statistiek en wachtrijen

Vorm en eigenschappen

De normale verdeling is het hoogst bij het gemiddelde en daalt daarvandaan steil af, in een klokvorm. Een ander gemiddelde verschuift de verdeling naar links of rechts zonder de vorm te veranderen, en een grotere standaardafwijking maakt haar lager en breder. De aandelen binnen het gemiddelde ±1σ, ±2σ en ±3σ zijn ongeveer 68,3%, 95,4% en 99,7%; wie deze „68-95-99,7-regel” onthoudt, kan spreiding snel schatten.

Standaardiseren en de standaardnormale verdeling

Een normale verdeling met willekeurig gemiddelde en willekeurige standaardafwijking wordt met de transformatie z = (x − μ) ÷ σ de standaardnormale verdeling, met gemiddelde 0 en standaardafwijking 1. Omdat z uitdrukt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde af ligt, kunnen gegevens met verschillende eenheden of gemiddelden worden vergeleken. Tabellen van de normale verdeling (tabellen van de cumulatieve kans) zijn voor deze standaardnormale verdeling opgesteld; het tweezijdige 95%-bereik is bijvoorbeeld ±1,96.

Waarom ze zo vaak voorkomt

Een grootheid die ontstaat door veel kleine onafhankelijke factoren op te tellen, benadert een normale verdeling, ongeacht de verdelingen van de afzonderlijke factoren (de centrale limietstelling). Daarom liggen meetfouten en afmetingen die zijn opgebouwd uit kleine variaties in veel processtappen dicht bij een normale verdeling. Dat de verdeling van het steekproefgemiddelde door een normale verdeling kan worden benaderd, is ook de basis van de berekeningen voor betrouwbaarheidsintervallen en hypothesetoetsen.

Nu oefenen: vragen over Normale verdeling

De afmeting van een onderdeel volgt een normale verdeling met een gemiddelde van 50,0 mm en een standaardafwijking van 0,1 mm. Welke waarde ligt het dichtst bij het aandeel onderdelen waarvan de afmeting tussen 49,7 mm en 50,3 mm ligt?

  1. AOngeveer 68%
  2. BOngeveer 95%
  3. COngeveer 99,7%
Antwoord en toelichting tonen

Antwoord: C. Ongeveer 99,7%

49,7 tot 50,3 mm is het gemiddelde ±0,3 mm, dus ±3 standaardafwijkingen (±3σ). Bij een normale verdeling ligt ongeveer 68% binnen het gemiddelde ±1σ, ongeveer 95% binnen ±2σ en ongeveer 99,7% binnen ±3σ (de 68-95-99,7-regel). Het aandeel in dit bereik is daarom ongeveer 99,7%.

De vertraging van een pad in een schakeling varieert van chip tot chip volgens een normale verdeling met een gemiddelde van 940 ps en een standaardafwijking van 30 ps. Neem aan dat bij een normale verdeling ongeveer 95,4% binnen het gemiddelde ±2σ ligt. Welke waarde ligt het dichtst bij het aandeel chips waarvan de vertraging de klokperiode van 1000 ps overschrijdt?

  1. AOngeveer 2,3%
  2. BOngeveer 4,6%
  3. COngeveer 95,4%
Antwoord en toelichting tonen

Antwoord: A. Ongeveer 2,3%

Standaardiseren geeft z = (1000 − 940) ÷ 30 = 2, dus het aandeel chips boven het gemiddelde +2σ is nodig. Buiten ±2σ ligt 100 − 95,4 = 4,6%, en omdat de normale verdeling symmetrisch is, ligt aan de bovenkant alleen 4,6 ÷ 2 = 2,3%. Door de spreiding van de vertraging zo als kansverdeling te behandelen, kan het aandeel chips worden geschat dat niet aan de timing voldoet.

Veelgestelde vragen

Wat is het verband met „3σ” bij procesbeheersing?

Als een proces stabiel is en een normale verdeling volgt, is de kans dat een punt op een regelkaart alleen door toeval buiten het gemiddelde ±3σ valt slechts ongeveer 0,27%. Daarom worden de regelgrenzen op ±3σ getrokken, en een punt daarbuiten wijst waarschijnlijk op een afwijking en niet op toeval. Ook Six Sigma is gebaseerd op het aantal standaardafwijkingen marge tot de specificatiegrenzen.

Mogen alle gegevens als normaal verdeeld worden behandeld?

Nee. Veel soorten gegevens volgen geen normale verdeling: de levensduur van componenten volgt een lognormale verdeling of een Weibull-verdeling, tussenaankomsttijden volgen een exponentiële verdeling en aantallen zeldzame gebeurtenissen een poissonverdeling. Vooral de kans in de „staarten” ver van het gemiddelde kan afhankelijk van de vorm van de verdeling ordes van grootte verschillen. Teken een histogram om de vorm te controleren voordat je besluit de normale verdeling te gebruiken.

“Normale verdeling” in de toelichting

Vragen met “Normale verdeling” (4)

  1. De afmeting van een onderdeel volgt een normale verdeling met een gemiddelde van 50,0 mm en een standaardafwijking van 0,1 mm. Welke waarde ligt het dichtst bij het aandeel onderdelen waarvan de afmeting tussen 49,7 mm en 50,3 mm ligt?
  2. De vertraging van een pad in een schakeling varieert van chip tot chip volgens een normale verdeling met een gemiddelde van 940 ps en een standaardafwijking van 30 ps. Neem aan dat bij een normale verdeling ongeveer 95,4% binnen het gemiddelde ±2σ ligt. Welke waarde ligt het dichtst bij het aandeel chips waarvan de vertraging de klokperiode van 1000 ps overschrijdt?
  3. Van een populatie is bekend dat de standaardafwijking 10 is. Een steekproef van grootte 100 uit deze populatie heeft een steekproefgemiddelde van 50,0. Neem voor de tweezijdige 95%-waarde van de standaardnormale verdeling 1,96. Wat is het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde?
  4. Hoe worden de regelgrenzen in een regelkaart (Shewhart-regelkaart) voor procesbeheersing in het algemeen vastgesteld?

Verwante termen

Standaardafwijking Betrouwbaarheidsinterval Regelkaart (control chart) Binomiale verdeling Correlatiecoëfficiënt Exponentiële verdeling Hypothesetoets Kwartiel Mediaan Permutaties en combinaties

Naar de woordenlijst