Was ist Fensterfunktion?

Gewichtungsfunktion, die bei der DFT-Analyse und beim Entwurf von FIR-Filtern auf ein endliches Intervall eines Signals oder von Koeffizienten angewendet wird. Schneidet man das Intervall einfach aus (Rechteckfenster), sind seine beiden Enden unstetig, was Leck-Effekt oder Welligkeit verursacht; ein Fenster, das beide Enden glatt gegen 0 führt, unterdrückt dies. Das typische Hann-Fenster (Hanning-Fenster) hat eine höchste Nebenkeule von etwa −31 dB, niedriger als die etwa −13 dB des Rechteckfensters, aber eine etwa doppelt so breite Hauptkeule. Je nachdem, ob niedrige Nebenkeulen oder eine schmale Hauptkeule wichtiger sind, werden Hamming-, Blackman-, Flattop- und andere Fenster gewählt.

Japanische Bezeichnung: 窓関数

„Fensterfunktion“ kommt in 2 Übungsfragen aus 1 Themen vor, z. B. Grundlagen der digitalen Signalverarbeitung.

Fachgebiet: Grundlagen der digitalen Signalverarbeitung

Hauptkeule und Nebenkeulen

Das Spektrum eines Fensters besteht aus einer großen zentralen Spitze (der Hauptkeule) und kleineren Spitzen auf beiden Seiten (den Nebenkeulen). Je schmaler die Hauptkeule, desto leichter lassen sich zwei Komponenten mit nahe beieinanderliegenden Frequenzen unterscheiden; je niedriger die Nebenkeulen, desto weniger geht eine schwache Komponente neben einer starken unter. Beides steht in einem Zielkonflikt: Das Rechteckfenster hat die schmalste Hauptkeule, aber hohe Nebenkeulen, beim Hann-Fenster ist es umgekehrt.

Amplituden ablesen und korrigieren

Ein Fenster verringert die Signalamplitude im Mittel, daher werden Amplituden korrigiert, indem man durch den Mittelwert des Fensters teilt (0,5 beim Hann-Fenster). Liegt eine Frequenz in der Mitte zwischen zwei Bins, wird ihre Amplitude außerdem zu klein abgelesen (Scalloping-Verlust), beim Rechteckfenster um etwa 3,9 dB und beim Hann-Fenster um etwa 1,4 dB. Wenn Amplituden genau gemessen werden müssen, verwendet man ein Flattop-Fenster, dessen Hauptkeule oben flach ist.

Fenster beim Entwurf von FIR-Filtern

Die Impulsantwort eines idealen Tiefpasses (eine sinc-Funktion) dauert unendlich lange an und muss daher auf eine endliche Zahl von Taps beschnitten werden. Einfaches Abschneiden erzeugt Welligkeit im Durchlass- und Sperrband (Gibbssches Phänomen); wendet man jedoch vorher eine Fensterfunktion an, erhält man eine Charakteristik mit unterdrückter Welligkeit. Die Art des Fensters verschiebt das Gleichgewicht zwischen der Dämpfung im Sperrband und der Breite des Übergangsbands.

Jetzt üben: Fragen zu Fensterfunktion

Welche Aussage zu den Fensterfunktionen vor einer DFT vergleicht das Rechteckfenster (kein Fenster angewendet) und das Hann-Fenster (Hanning-Fenster) richtig?

ADas Hann-Fenster halbiert etwa die Breite der Hauptkeule gegenüber dem Rechteckfenster und senkt auch die Nebenkeulen, ist dem Rechteckfenster also in jeder Hinsicht überlegen
BDas Hann-Fenster hat niedrigere Nebenkeulen und weniger Leckage in entfernte Bins, aber seine Hauptkeule ist etwa doppelt so breit wie die des Rechteckfensters
CDas Hann-Fenster verengt die Hauptkeule, dafür liegen seine Nebenkeulen höher als die des Rechteckfensters

Antwort und Erläuterung anzeigen

Antwort: B. Das Hann-Fenster hat niedrigere Nebenkeulen und weniger Leckage in entfernte Bins, aber seine Hauptkeule ist etwa doppelt so breit wie die des Rechteckfensters

Das Rechteckfenster hat eine schmale Hauptkeule von ±1 Bin (bis zu den ersten Nullstellen), aber seine höchste Nebenkeule liegt mit etwa −13 dB hoch, sodass sich die Leckage bis in entfernte Bins ausbreitet. Das Hann-Fenster führt beide Enden des Intervalls glatt auf 0, wodurch die höchste Nebenkeule auf etwa −31 dB sinkt; seine Hauptkeule wird dafür mit ±2 Bins etwa doppelt so breit. Die Wahl hängt vom Zweck ab: ein Fenster wie Hann, um ein schwaches Signal neben einem starken zu sehen, und das Rechteckfenster, um ähnlich starke Signale mit nahe beieinanderliegenden Frequenzen zu unterscheiden.

Häufige Fragen

Wann ist eine Fensterfunktion nötig?

Ein Fenster wird in der Regel immer dann angewendet, wenn nicht garantiert ist, dass eine ganze Zahl von Perioden des gemessenen Signals in das Beobachtungsintervall passt. Passt die Periode genau zum Intervall oder klingt ein transientes Signal innerhalb des Intervalls vollständig ab, ist der Leck-Effekt auch mit dem Rechteckfenster (ohne Fenster) kein Problem.

Was unterscheidet das Hann- vom Hamming-Fenster?

Beide sind kosinusförmige Fenster, doch das Hann-Fenster geht an beiden Enden genau auf 0, und seine entfernten Nebenkeulen klingen schnell ab. Das Hamming-Fenster lässt an den Enden statt 0 etwa 0,08 stehen und senkt damit seine höchste Nebenkeule auf etwa −43 dB, seine entfernten Nebenkeulen klingen aber langsamer ab.

„Fensterfunktion“ in den Erläuterungen

Das ist der Leck-Effekt; er lässt sich mit einer Fensterfunktion verringern, die beide Enden des Intervalls glatt gegen 0 führt.
Was ist die Hauptursache für den Leck-Effekt bei der DFT?