Was ist Diskrete Fourier-Transformation?

Berechnung, die N Abtastwerte x[0] bis x[N − 1] in N Frequenzkomponenten X[0] bis X[N − 1] umsetzt. Sie ist durch X[k] = Σx[n]e^(−j2πkn/N) definiert, und Komponente k entspricht der Frequenz k·fs/N. Der Bin-Abstand fs/N ist der Kehrwert der Beobachtungsdauer und ein Richtwert für die Frequenzauflösung. Bei einem reellen Signal ist X[N − k] die konjugiert komplexe Zahl von X[k], sodass k = 0 bis N/2 die gesamte Information enthält. Nach der Definition berechnet erfordert sie etwa N² Operationen; die schnelle Fourier-Transformation (FFT) senkt dies auf etwa N log₂N. Sie wird mit DFT abgekürzt, was nichts mit DFT im Sinne von Design for Testability zu tun hat.

Japanische Bezeichnung: 離散フーリエ変換

„Diskrete Fourier-Transformation“ kommt in 2 Übungsfragen aus 2 Themen vor, z. B. Grundlagen der digitalen Signalverarbeitung, Grundlagen der Funkkommunikation.

Fachgebiet: Grundlagen der digitalen Signalverarbeitung

Was die DFT voraussetzt

Die DFT setzt voraus, dass die N beobachteten Punkte eine Periode eines sich wiederholenden Signals sind. Passt eine ganze Zahl von Perioden eines Sinussignals in das Intervall, fällt die Komponente in ein einziges Bin; andernfalls wird das Intervall so behandelt, als wären seine beiden Enden unstetig verbunden, und die Energie verteilt sich auf die umliegenden Bins (Leck-Effekt). Bei Messungen wird daher vor der DFT oft eine Fensterfunktion angewendet, die beide Enden des Intervalls glättet.

Die Frequenz-Bins lesen

k = 0 entspricht dem Gleichanteil (der Summe aller Abtastwerte) und k = N/2 der Nyquist-Frequenz. Bins mit k oberhalb von N/2 entsprechen negativen Frequenzen und sind bei einem reellen Signal das Spiegelbild von Bin k. Mit fs = 48 kHz und N = 1024 beträgt der Bin-Abstand zum Beispiel 46,875 Hz, und eine 1-kHz-Komponente erscheint bei k ≈ 21,3, also zwischen k = 21 und 22.

Rücktransformation und Satz von Parseval

Die Rücktransformation x[n] = (1/N)ΣX[k]e^(j2πkn/N) liefert die ursprünglichen Abtastwerte exakt zurück. Wo der Faktor 1/N steht, hängt von der Konvention ab; manche Definitionen teilen ihn als 1/√N auf beide Seiten auf. Mit X[k] wie oben definiert sind die Energien im Zeit- und im Frequenzbereich durch Σ|X[k]|² = N·Σ|x[n]|² verknüpft (Satz von Parseval).

Jetzt üben: Fragen zu Diskrete Fourier-Transformation

Ein mit 48 kHz abgetastetes Signal wird mit einer diskreten Fourier-Transformation (DFT) mit 1024 Punkten analysiert. Welchen Abstand haben die Frequenz-Bins?

AEtwa 23,4 Hz
BEtwa 46,9 Hz
CEtwa 93,8 Hz

Antwort und Erläuterung anzeigen

Antwort: B. Etwa 46,9 Hz

Der Bin-Abstand einer N-Punkt-DFT ist Δf = fs/N, und 48.000 ÷ 1024 = 46,875 Hz ≈ 46,9 Hz. Bin k entspricht der Frequenz k × Δf: k = 0 ist der Gleichanteil und k = N/2 = 512 die Nyquist-Frequenz von 24 kHz. Δf ist zugleich der Kehrwert der Beobachtungsdauer T = N/fs ≈ 21,3 ms; feinere Bins erfordern daher eine längere Beobachtungsdauer.

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen der diskreten Fourier-Transformation und der FFT?

Die DFT ist die Definition der Transformation, also „was berechnet wird“, die FFT ist „ein schnelles Verfahren (Algorithmus), sie zu berechnen“. FFT-Ergebnisse stimmen bis auf Rundungsfehler mit der DFT nach ihrer Definition überein. Für N = 1024 sinkt die Zahl der Operationen auf etwa 1/100.

Verbessert Zero-Padding die Frequenzauflösung?

Nein. Angehängte Nullen machen den Bin-Abstand feiner und liefern interpolierte Werte des Spektrums, fügen aber keine neue Information hinzu; die Fähigkeit, nahe beieinanderliegende Frequenzen zu unterscheiden, wird weiterhin durch die Länge der tatsächlich beobachteten Daten bestimmt. Um sie zu verbessern, müssen Daten über eine längere Zeit aufgezeichnet werden.

„Diskrete Fourier-Transformation“ in den Erläuterungen

SC-FDMA unterzieht die Daten einer diskreten Fourier-Transformation (DFT), bevor sie auf die Unterträger gelegt werden, und erzeugt so ein Signal ähnlich einem Einträgersignal mit kleiner PAPR.
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