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Was ist Exponentialverteilung?

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung der Abstände zwischen zufällig auftretenden Ereignissen oder der Zeit bis zum Ausfall eines Bauteils mit konstanter Ausfallrate. Mit der Rate λ beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass bis zur Zeit t kein Ereignis eintritt, e^(−λt), und der Mittelwert ist 1/λ. Sie ist gedächtnislos: Die Verteilung der verbleibenden Zeit hängt nicht davon ab, wie viel Zeit bereits vergangen ist. Sie dient als Modell für Zwischenankunftszeiten, wenn die Anzahl der Ankünfte einer Poisson-Verteilung folgt, und für die Zeit bis zum Ausfall in der Phase der Zufallsausfälle, und sie ist eine Voraussetzung des M/M/1-Modells der Warteschlangentheorie.

Japanische Bezeichnung: 指数分布

„Exponentialverteilung“ kommt in 3 Übungsfragen aus 2 Themen vor, z. B. Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik und Warteschlangen, Zuverlässigkeit.

Fachgebiet: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik und Warteschlangen

Jetzt üben: Fragen zu Exponentialverteilung

Die Zeit bis zum Ausfall eines Geräts folgt einer Exponentialverteilung mit dem Mittelwert 1000 Stunden. Es gelte e^(−0,5) ≈ 0,61, e^(−1) ≈ 0,37 und e^(−1,5) ≈ 0,22. Das Gerät hat 500 Stunden ohne Ausfall gearbeitet. Welcher Wert liegt der Wahrscheinlichkeit am nächsten, dass es von jetzt an mindestens weitere 1000 Stunden nicht ausfällt?

  1. A0,22
  2. B0,37
  3. C0,61
Antwort und Erläuterung anzeigen

Antwort: B. 0,37

Die Exponentialverteilung ist gedächtnislos: Die Verteilung der verbleibenden Zeit hängt nicht davon ab, wie viel Zeit bereits vergangen ist. Die Wahrscheinlichkeit, nach 500 Betriebsstunden mindestens weitere 1000 Stunden ohne Ausfall zu arbeiten, ist daher dieselbe wie bei einem neuen Gerät, nämlich e^(−1) ≈ 0,37. Auch mit bedingter Wahrscheinlichkeit gerechnet ergibt sich P(T > 1500) ÷ P(T > 500) = e^(−1,5) ÷ e^(−0,5) = e^(−1). Bei Bauteilen in der Phase der Zufallsausfälle mit konstanter Ausfallrate wird ein Bauteil also nicht anfälliger, je länger es schon in Gebrauch ist.

„Exponentialverteilung“ in den Erläuterungen

Fragen mit „Exponentialverteilung“ (3)

  1. Die Zeit bis zum Ausfall eines Geräts folgt einer Exponentialverteilung mit dem Mittelwert 1000 Stunden. Es gelte e^(−0,5) ≈ 0,61, e^(−1) ≈ 0,37 und e^(−1,5) ≈ 0,22. Das Gerät hat 500 Stunden ohne Ausfall gearbeitet. Welcher Wert liegt der Wahrscheinlichkeit am nächsten, dass es von jetzt an mindestens weitere 1000 Stunden nicht ausfällt?
  2. Welche Formel beschreibt bei konstanter Ausfallrate λ die Wahrscheinlichkeit, bis zur Zeit t nicht auszufallen (Zuverlässigkeit) R(t)?
  3. Anfragen an einen Server treffen als Poisson-Ankünfte (unabhängige, zufällige Ankünfte) mit im Mittel 6 Anfragen pro Minute ein. Welche Kombination aus der Verteilung der Zwischenankunftszeiten und deren Mittelwert ist zutreffend?

Verwandte Begriffe

Bedingte Wahrscheinlichkeit MTTF (mittlere Zeit bis zum Ausfall) Warteschlangentheorie Binomialverteilung Erwartungswert Hypothesentest Konfidenzintervall Korrelationskoeffizient Median Normalverteilung

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