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P-Regelung vs. PI-Regelung vs. PID-Regelung: bleibende Regelabweichung, Schnelligkeit, Überschwingen und Einstellung

Alle drei sind Feedback-Regler, die die Stellgröße aus der Differenz (Regelabweichung) e zwischen Sollwert und Regelgröße bestimmen; sie unterscheiden sich in der Zahl der verwendeten Anteile. Die P-Regelung gibt eine zur Regelabweichung proportionale Stellgröße aus, die PI-Regelung addiert das Integral der Regelabweichung und die PID-Regelung zusätzlich deren Ableitung. P (proportional) sorgt für Schnelligkeit, I (integral) beseitigt die bleibende Regelabweichung und D (differenzial) dämpft Überschwingen und Schwingungen. Bei einer Strecke ohne Integrator hinterlässt eine reine P-Regelung eine Abweichung. Die PI-Regelung beseitigt sie, doch die zusätzliche Phasennacheilung macht Schwingungen wahrscheinlicher, und ein D-Anteil hilft, diese Schwingungen zu dämpfen.

MerkmalP-RegelungPI-RegelungPID-Regelung
Regelgesetzu = Kp·eu = Kp·e + Ki∫e dtu = Kp·e + Ki∫e dt + Kd·de/dt
Bleibende Regelabweichung bei einem Sollwertsprung (Strecke ohne Integrator)Bleibt: 1/(1 + K·Kp) bei einem PT1-Glied K/(Ts + 1)Wird 0Wird 0
SchnelligkeitUmso schneller, je höher KpEine höhere Integralverstärkung Ki beschleunigt den Anstieg, vergrößert aber das ÜberschwingenD erhöht die Dämpfung, sodass sich die Verstärkung leichter erhöhen lässt, ohne dass das Überschwingen wächst
Überschwingen und SchwingneigungEin zu hohes Kp macht die Antwort schwingend und bei Strecken mit großen Verzögerungen instabilDas Integral bringt 90° Phasennacheilung, daher schwingt sie leichter als die P-RegelungDie Ableitung nimmt Änderungen der Regelabweichung vorweg und verringert Schwingungen
Simulatorbeispiel (PT1-Glied mit Totzeit, K = 1, T = 10 s, L = 2 s, Kp = 4)Bleibende Regelabweichung 0,2, Überschwingen etwa 30 %Mit Ki = 0,4: bleibende Regelabweichung 0, Überschwingen etwa 30 %Zusätzlich Kd = 4: bleibende Regelabweichung 0, Überschwingen etwa 7 %
RauschempfindlichkeitAuch das Rauschen wird mit Kp multipliziertDie Verstärkung bei hohen Frequenzen ist Kp, etwa wie bei der P-RegelungDie Ableitung verstärkt höhere Frequenzen stärker und damit auch Rauschen; sie wird mit einem Tiefpassfilter kombiniert (realer D-Anteil)
StellgrößenbegrenzungKein Integrator, daher läuft nichts auf, solange der Ausgang an der Grenze anliegtDas Integral summiert weiter, solange der Ausgang an der Grenze anliegt (Integral-Windup); Gegenmaßnahmen wie das Anhalten der Integration sind nötigBraucht wie die PI-Regelung Anti-Windup-Maßnahmen; außerdem auf den Derivative Kick bei plötzlichen Sollwertänderungen achten
Einstellparameter und Startwerte nach der Methode der Stabilitätsgrenze von Ziegler und NicholsEin Parameter, Kp: Kp = 0,5KuZwei, Kp und Ti (oder Ki): Kp = 0,45Ku, Ti ≈ 0,83TuDrei, Kp, Ti und Td: Kp = 0,6Ku, Ti = 0,5Tu, Td = 0,125Tu
Typischer EinsatzRegelungen, die eine kleine Abweichung tolerieren, und Positionsregelung von Strecken mit Integrator (bei einem Sprung bleibt keine Abweichung)Temperatur, Durchfluss, Druck, Motordrehzahl und Versorgungsspannung; in der Praxis nutzen viele Regelkreise PI ohne DTemperatur- und Positionsregelung mit großen Verzögerungen, bei denen das Überschwingen klein bleiben muss

Die Zahlenwerte sind typische Größenordnungen und variieren je nach Prozessgeneration und Produkt.

Wann welche Variante?

P-Regelung
Wenn die Strecke einen Integrator enthält (etwa die Position eines Motors) oder eine kleine bleibende Regelabweichung akzeptabel ist. Sie ist die einfachste; nur Kp ist einzustellen.
PI-Regelung
Wenn die bleibende Regelabweichung bei konstanten Sollwerten und Störgrößen 0 sein muss. Sie ist rauschunempfindlich und leicht einzustellen und daher in vielen Regelkreisen für Temperatur, Durchfluss, Drehzahl und Versorgungsspannung die Standardwahl.
PID-Regelung
Wenn Totzeit oder Verzögerungen groß sind und die PI-Regelung zu viel Überschwingen oder Schwingung ergibt. Die Ableitung mit einem Tiefpassfilter versehen und bei verrauschtem Sensor die D-Verstärkung zurückhaltend wählen.

Häufige Fragen

Warum hinterlässt eine reine P-Regelung eine bleibende Regelabweichung?

Weil die Stellgröße proportional zur Regelabweichung ist, muss eine Abweichung bestehen bleiben, damit der Regler weiterhin eine Stellgröße ausgibt. Unter P-Regelung mit Einheitsrückführung stellt sich ein PT1-Glied K/(Ts + 1) auf K·Kp/(1 + K·Kp) ein, mit einer Abweichung von 1/(1 + K·Kp); bei K = 1 und Kp = 4 ist der Endwert 0,8 und die Abweichung 0,2. Ein höheres Kp verkleinert die Abweichung, macht sie aber nie 0, und ein zu hohes Kp führt zu Schwingungen.

Warum bringt die PI-Regelung die bleibende Regelabweichung auf 0?

Der I-Anteil ändert sich, solange irgendeine Abweichung besteht, und kann daher nur dort zur Ruhe kommen, wo die Abweichung 0 ist. Auch bei verschwundener Abweichung liefert der im I-Anteil aufsummierte Wert weiterhin die nötige Stellgröße. Im Gegenzug bringt das Integral 90° Phasennacheilung, daher vergrößert ein zu starker I-Anteil (eine zu kurze Nachstellzeit Ti) Überschwingen und Schwingungen.

Worauf ist beim Hinzufügen von D (Ableitung) zu achten?

Die Ableitung verstärkt höherfrequente Anteile stärker und damit das Sensorrauschen. Sie wird daher als realer D-Anteil mit einem Tiefpassfilter erster Ordnung implementiert, der die Verstärkung bei hohen Frequenzen auf etwa das N-Fache begrenzt (N liegt oft bei etwa 8 bis 20). Um den Derivative Kick zu vermeiden, also den Sprung der Stellgröße im Moment eines Sollwertsprungs, wird die Ableitung zudem oft nur auf den Messwert statt auf die Regelabweichung angewandt (PI-D-Regelung).

In welcher Reihenfolge stellt man die Verstärkungen ein?

Das Grundvorgehen: Zuerst Kp bei reiner P-Regelung erhöhen, bis kurz bevor Schwingungen einsetzen, dann I hinzufügen, um die bleibende Regelabweichung zu beseitigen, und bei großem Überschwingen D hinzufügen. Sind die Verstärkung Ku, bei der die P-Regelung eine Dauerschwingung zeigt, und deren Periode Tu bekannt, liefert die Methode der Stabilitätsgrenze nach Ziegler und Nichols (für PID Kp = 0,6Ku, Ti = 0,5Tu, Td = 0,125Tu) einen Ausgangspunkt; die damit erzielte Antwort ist jedoch schwingend, daher werden die Verstärkungen von dort aus verringert.

Verständnis prüfen

In einem System mit Einheitsrückführung ist die Übertragungsfunktion im Vorwärtszweig G(s) = 9/(1 + 2s). Wie groß ist die bleibende Regelabweichung bei einem Sollwertsprung der Höhe 1?

  1. A0
  2. B0,1
  3. CEtwa 0,11
Antwort und Erläuterung anzeigen

Antwort: B. 0,1

Bei Einheitsrückführung beträgt die bleibende Regelabweichung bei einem Sprung 1/(1 + Kp), wobei Kp = G(0) Positionsfehlerkonstante heißt. Hier ist Kp = 9, die bleibende Regelabweichung also 1/(1 + 9) = 0,1. In einem System ohne Integrator im Vorwärtszweig (Typ 0) wird die Abweichung mit steigender Verstärkung kleiner, aber nicht 0. Um sie auf 0 zu bringen, fügt man etwa mit einer PI-Regelung einen Integrator hinzu.

Eine Regelstrecke ohne Integrierglied (System vom Typ 0) wird mit einer P-Regelung (Proportionalregelung) geregelt. Welche Aussage beschreibt die allgemeine Änderung bei Erhöhung der Proportionalverstärkung Kp richtig?

  1. ADie bleibende Regelabweichung wird kleiner, aber nicht 0, und eine zu große Verstärkung macht die Antwort schwingend oder instabil
  2. BDie bleibende Regelabweichung wird genau 0, und die Antwort bleibt ohne jede Schwingung stets stabil, wie groß die Verstärkung auch gewählt wird
  3. CDie Antwortgeschwindigkeit ändert sich nicht, nur die bleibende Regelabweichung wächst
Antwort und Erläuterung anzeigen

Antwort: A. Die bleibende Regelabweichung wird kleiner, aber nicht 0, und eine zu große Verstärkung macht die Antwort schwingend oder instabil

Die P-Regelung ist die grundlegendste Regelung; sie erzeugt eine Stellgröße proportional zur Regelabweichung. Ein größeres Kp macht die Antwort schneller und verringert die bleibende Regelabweichung bei einem Sprung, 1/(1 + Kp·K), wobei K die stationäre Verstärkung der Regelstrecke ist; ohne Regelabweichung wäre aber auch die Stellgröße 0, daher wird die Abweichung nicht 0 (Offset). Eine höhere Verstärkung verringert außerdem die Phasenreserve und vergrößert das Überschwingen, und eine Strecke mit großer Verzögerung wird instabil. Um die bleibende Regelabweichung zu beseitigen, fügt man einen I-Anteil hinzu.

Welche Kombination aus dem Hauptzweck des I-Anteils (Integralanteils) bei der PI-Regelung und seiner Nebenwirkung ist richtig?

  1. AZweck ist das Entfernen hochfrequenten Rauschens, Nebenwirkung eine größere bleibende Regelabweichung
  2. BZweck ist das Beseitigen der bleibenden Regelabweichung bei konstantem Sollwert oder konstanter Störgröße, Nebenwirkung eine Phasennacheilung, die die Schwingneigung erhöht
  3. CZweck ist, Änderungen der Regelabweichung vorwegzunehmen, um die Antwort zu beschleunigen und das Hinausschießen zu unterdrücken, Nebenwirkung eine starke Verstärkung hochfrequenten Rauschens
Antwort und Erläuterung anzeigen

Antwort: B. Zweck ist das Beseitigen der bleibenden Regelabweichung bei konstantem Sollwert oder konstanter Störgröße, Nebenwirkung eine Phasennacheilung, die die Schwingneigung erhöht

Der I-Anteil summiert die Regelabweichung über die Zeit zur Stellgröße auf, verändert die Stellgröße also, solange auch nur eine kleine Abweichung bleibt, und bringt die bleibende Regelabweichung schließlich auf 0. Andererseits verschiebt ein Integrierglied die Phase um 90° nach hinten, was die Phasenreserve verringert und Überschwingen und Schwingungen wahrscheinlicher macht. Die Nachstellzeit Ti wird daher so eingestellt, dass sie nicht zu kurz ist. Die Antwort zu beschleunigen, das Hinausschießen zu unterdrücken und zur Verstärkung von Rauschen zu neigen, sind Merkmale des D-Anteils.

  1. Welche Kombination aus einer Eigenschaft des D-Anteils (Differentialanteils) der PID-Regelung und einer Maßnahme bei der Implementierung ist richtig?
  2. Wie verhindert man bei der PID-Regelung, dass die Stellgröße im Moment eines sprungförmigen Sollwertwechsels stark nach oben springt (Derivative Kick)?
  3. Bei der Methode der Stabilitätsgrenze nach Ziegler und Nichols wird die Verstärkung bei reiner P-Regelung erhöht, bis eine Dauerschwingung auftritt, und aus dieser Verstärkung Ku und der Schwingungsperiode Tu werden die PID-Parameter zu Kp = 0,6Ku, Ti = 0,5Tu und Td = 0,125Tu bestimmt. Welche Werte ergeben sich für Ku = 8 und Tu = 2 s?

Übungsfragen zu Grundlagen der Regelungstechnik

Wichtige Begriffe erklärt

PID-Regelung
Regelung, die die Stellgröße als Summe eines zur Regelabweichung e proportionalen Terms (P), eines zum Integral der Regelabweichung proportionalen Terms (I) und eines zur Ableitung der Regelabweichung proportionalen Terms (D) bildet. Man schreibt u = Kp(e + (1/Ti)∫e dt + Td·de/dt), wobei Kp die Proportionalverstärkung, Ti die Nachstellzeit und Td die Vorhaltzeit ist. Der P-Anteil sorgt für Schnelligkeit, der I-Anteil beseitigt die bleibende Regelabweichung, und der D-Anteil dämpft Schwingungen. Die Struktur ist einfach, und sie wird in den meisten industriellen Regelkreisen eingesetzt, etwa für Temperatur, Motoren, Netzteile und chemische Prozesse.
Bleibende Regelabweichung
Die Differenz zwischen Sollwert und Regelgröße, die bleibt, nachdem die Antwort eines Regelkreises zur Ruhe gekommen ist; sie heißt auch Offset. Bei Einheitsrückführung beträgt sie bei einem Sollwertsprung 1/(1 + Kp), wobei Kp = G(0) die Positionsfehlerkonstante ist, und sie wird in einem System ohne Integrator im Vorwärtszweig (Typ 0) nicht 0. In einem System vom Typ 1 mit einem Integrator ist die bleibende Regelabweichung bei einem Sprung 0, und bei einem Rampensollwert bleibt eine Abweichung von 1/Kv (Kv ist die Geschwindigkeitsfehlerkonstante). Der I-Anteil der PI-Regelung dient dazu, diese Abweichung zu beseitigen.
Überschwingen
Das Hinausschießen des Ausgangs über seinen Endwert bei einer Sprungantwort o. Ä., auch der maximale Betrag dieser Überschreitung. In der Regelungstechnik wird es in Prozent des Endwerts angegeben; bei einem PT2-Glied ohne Nullstellen beträgt es exp(−πζ/√(1 − ζ²)) und hängt nur vom Dämpfungsgrad ζ ab. In Regelkreisen gilt: Je kleiner die Phasenreserve, desto größer das Überschwingen. In elektronischen Schaltungen bezeichnet man mit demselben Wort auch das vorübergehende Überschreiten des Endpegels eines Signal- oder Spannungsverlaufs durch Leitungsinduktivität oder Reflexionen.
Integral-Windup
Phänomen, bei dem der I-Anteil eines PID-Reglers die Regelabweichung weiter aufsummiert und übermäßig anwächst, während die Stellgröße an einer oberen oder unteren Grenze des Stellglieds in der Sättigung ist. Auch nach einem Vorzeichenwechsel der Regelabweichung bleibt die Stellgröße gesättigt, bis der aufsummierte Integralwert abgebaut ist, was großes Überschwingen und lange Schwingungen verursacht. Verhindert wird es mit Anti-Windup-Maßnahmen wie der bedingten Integration (Clamping), die während der Sättigung nicht integriert, der Back-Calculation, die die Differenz zwischen den Werten vor und nach der Begrenzung in den Integrator zurückführt, und der Verwendung des Geschwindigkeitsalgorithmus des PID-Reglers.
Ausregelzeit (Einschwingzeit)
Zeit vom Anlegen eines Eingangssprungs, bis der Ausgang in ein festgelegtes Band um seinen Endwert (etwa ±2 % oder ±5 %) eintritt und darin bleibt. Sie beschreibt Schnelligkeit und Beruhigung einer Antwort zugleich; bei einem PT2-Glied wird die ±2-%-Ausregelzeit auf etwa 4/(ζωn), die ±5-%-Ausregelzeit auf etwa 3/(ζωn) geschätzt. Die ±2-%-Ausregelzeit eines PT1-Glieds beträgt etwa 3,9T, wobei T die Zeitkonstante ist. In Datenblättern von A/D-Wandlern und Operationsverstärkern heißt die Zeit, bis sich der Ausgang auf eine angegebene Genauigkeit eingestellt hat, ebenfalls Einschwingzeit.
PT1-Glied (Verzögerungsglied erster Ordnung)
System mit der Übertragungsfunktion G(s) = K/(1 + Ts), wobei K die stationäre Verstärkung und T die Zeitkonstante ist. Seine Antwort auf einen Eingangssprung ist K(1 − e^(−t/T)); sie erreicht bei t = T etwa 63,2 % des Endwerts, bei 3T etwa 95 % und bei 5T etwa 99,3 %, ohne Überschwingen. Viele vertraute Systeme wie RC-Schaltungen, thermische Systeme und Füllstandssysteme lassen sich in dieser Form annähern. Im Frequenzgang fällt die Verstärkung oberhalb der Eckkreisfrequenz 1/T mit −20 dB/Dekade.
Feedback-Regelung (Rückkopplungsregelung)
Regelung, die die Regelgröße mit einem Sensor misst, mit dem Sollwert vergleicht und die Stellgröße so ändert, dass die Differenz (die Regelabweichung) kleiner wird. Weil das Signal einen Kreis durchläuft, spricht man auch von Regelung im geschlossenen Regelkreis. Sie korrigiert Abweichungen des Ergebnisses unabhängig von deren Ursache und ist daher robust gegenüber Störgrößen und Änderungen der Regelstrecke, korrigiert aber erst, nachdem eine Regelabweichung aufgetreten ist, sodass eine Verzögerung entsteht; eine zu hohe Verstärkung führt zu Schwingungen oder Instabilität. Typisches Beispiel ist die PID-Regelung, die vielfach zur Regelung von Temperatur, Drehzahl, Spannung, Position und mehr eingesetzt wird.

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