Français
Menu

Régulation P vs PI vs PID : erreur en régime permanent, rapidité, dépassement, réglage

Ce sont trois correcteurs par rétroaction qui déterminent la grandeur de commande à partir de l’erreur e entre la consigne et la grandeur réglée ; ils diffèrent par le nombre de termes utilisés. La régulation P délivre une action proportionnelle à l’erreur, la régulation PI y ajoute l’intégrale de l’erreur, et la régulation PID ajoute encore la dérivée de l’erreur. P (proportionnelle) gère la rapidité, I (intégrale) supprime l’erreur en régime permanent et D (dérivée) limite le dépassement et l’oscillation. Pour un procédé sans intégrateur, la régulation P seule laisse une erreur. La régulation PI la supprime, mais le retard de phase ajouté rend l’oscillation plus probable, et l’ajout de D aide à la limiter.

CritèreRégulation PRégulation PIRégulation PID
Loi de commandeu = Kp·eu = Kp·e + Ki∫e dtu = Kp·e + Ki∫e dt + Kd·de/dt
Erreur en régime permanent pour un échelon de consigne (procédé sans intégrateur)Subsiste : 1/(1 + K·Kp) pour un procédé du premier ordre K/(Ts + 1)Devient nulleDevient nulle
RapiditéPlus rapide à mesure que Kp augmenteAugmenter le gain intégral Ki accélère la montée mais accroît le dépassementD ajoute de l’amortissement, ce qui permet plus facilement d’augmenter le gain tout en limitant le dépassement
Dépassement et oscillationUn Kp trop élevé rend la réponse oscillante, et instable pour les procédés à fort retardL’intégrale ajoute 90° de retard de phase : la réponse oscille plus facilement qu’en régulation PLa dérivée anticipe les variations de l’erreur et réduit l’oscillation
Exemple tiré du simulateur (procédé du premier ordre avec retard pur, K = 1, T = 10 s, L = 2 s, Kp = 4)Erreur en régime permanent 0,2, dépassement d’environ 30 %Avec Ki = 0,4 : erreur en régime permanent nulle, dépassement d’environ 30 %En ajoutant Kd = 4 : erreur en régime permanent nulle, dépassement d’environ 7 %
Sensibilité au bruitLe bruit est lui aussi multiplié par KpLe gain aux hautes fréquences vaut Kp, à peu près comme en régulation PLa dérivée amplifie davantage les hautes fréquences, donc le bruit ; on la combine avec un filtre passe-bas (dérivée filtrée)
Saturation de l’actionneurPas d’intégrateur, donc rien ne s’emballe pendant que la sortie est en butéeL’intégrale continue de s’accumuler pendant que la sortie est maintenue en butée (emballement de l’intégrale) ; des contre-mesures comme l’arrêt de l’intégration sont nécessairesNécessite des contre-mesures anti-windup comme la régulation PI ; attention aussi au coup de dérivée lors d’un changement brusque de consigne
Paramètres de réglage et valeurs de départ de la méthode de Ziegler-Nichols du gain critiqueUn paramètre, Kp : Kp = 0,5KuDeux, Kp et Ti (ou Ki) : Kp = 0,45Ku, Ti ≈ 0,83TuTrois, Kp, Ti et Td : Kp = 0,6Ku, Ti = 0,5Tu, Td = 0,125Tu
Usages typiquesCommandes qui tolèrent une petite erreur, et asservissement de position de procédés qui contiennent un intégrateur (aucune erreur ne subsiste pour un échelon)Température, débit, pression, vitesse des moteurs et tension d’alimentation ; en pratique, beaucoup de boucles utilisent un PI sans DRégulation de température et de position à forts retards où le dépassement doit rester faible

Les valeurs indiquées sont des ordres de grandeur typiques et varient selon la génération de procédé et le produit.

Quand choisir l'un ou l'autre ?

Régulation P
Lorsque le procédé contient un intégrateur (comme la position d’un moteur) ou qu’une petite erreur en régime permanent est acceptable. C’est la plus simple, avec seulement Kp à régler.
Régulation PI
Lorsque l’erreur en régime permanent doit être nulle pour des consignes et des perturbations constantes. Robuste au bruit et facile à régler, c’est le choix standard de nombreuses boucles de température, de débit, de vitesse et de tension d’alimentation.
Régulation PID
Lorsque le retard pur ou les retards sont importants et que la régulation PI donne trop de dépassement ou d’oscillation. On place un filtre passe-bas sur la dérivée, et l’on garde un gain D modeste si le capteur est bruité.

Questions fréquentes

Pourquoi la régulation P seule laisse-t-elle une erreur en régime permanent ?

Comme l’action est proportionnelle à l’erreur, une erreur doit subsister pour que le correcteur continue de délivrer une action. En régulation P avec retour unitaire, un procédé du premier ordre K/(Ts + 1) se stabilise à K·Kp/(1 + K·Kp) avec une erreur de 1/(1 + K·Kp) ; avec K = 1 et Kp = 4, la valeur finale est 0,8 et l’erreur 0,2. Augmenter Kp réduit l’erreur sans jamais l’annuler, et l’augmenter trop provoque une oscillation.

Pourquoi la régulation PI ramène-t-elle l’erreur en régime permanent à zéro ?

Le terme intégral continue de varier tant qu’il reste une erreur : il ne peut donc se stabiliser que là où l’erreur est nulle. Même avec une erreur nulle, la valeur accumulée dans le terme intégral continue de fournir l’action nécessaire. En contrepartie, l’intégrale ajoute 90° de retard de phase : la rendre trop forte (un temps intégral Ti trop court) accroît le dépassement et l’oscillation.

À quoi faut-il faire attention en ajoutant D (dérivée) ?

La dérivée amplifie davantage les composantes de haute fréquence, donc le bruit du capteur. On la réalise donc sous forme de dérivée filtrée, avec un filtre passe-bas du premier ordre qui limite le gain aux hautes fréquences à environ N fois (N vaut souvent de 8 à 20). Pour éviter le coup de dérivée, c’est-à-dire le saut de l’action au moment où la consigne change en échelon, on applique aussi souvent la dérivée à la seule mesure plutôt qu’à l’erreur (régulation PI-D).

Dans quel ordre régler les gains ?

La procédure de base consiste à augmenter Kp en régulation P seule jusqu’au seuil de l’oscillation, puis à ajouter I pour supprimer l’erreur en régime permanent, et à ajouter D si le dépassement est important. Si l’on connaît le gain Ku pour lequel la commande proportionnelle produit une oscillation entretenue et la période Tu, la méthode de Ziegler-Nichols du gain critique (pour un PID, Kp = 0,6Ku, Ti = 0,5Tu, Td = 0,125Tu) donne un point de départ, mais la réponse obtenue est oscillante, et l’on réduit ensuite les gains à partir de là.

Vérifier vos connaissances

Dans un système à retour unitaire, la fonction de transfert de la chaîne directe est G(s) = 9/(1 + 2s). Quelle est l'erreur en régime permanent pour une consigne en échelon d'amplitude 1 ?

  1. A0
  2. B0,1
  3. CEnviron 0,11
Afficher la réponse et l'explication

Réponse : B. 0,1

Pour un système à retour unitaire, l'erreur en régime permanent pour un échelon vaut 1/(1 + Kp), où Kp = G(0) est appelée constante d'erreur de position. Ici Kp = 9, donc l'erreur en régime permanent vaut 1/(1 + 9) = 0,1. Dans un système dont la chaîne directe ne comporte pas d'intégrateur (système de classe 0), augmenter le gain réduit l'erreur, mais ne l'annule pas. Pour l'annuler, on ajoute un intégrateur, par exemple avec une régulation PI.

Un procédé sans intégrateur (système de classe 0) est commandé par une action proportionnelle (P). Quelle description de l'évolution générale lorsqu'on augmente le gain proportionnel Kp est correcte ?

  1. AL'erreur en régime permanent diminue sans s'annuler, et un gain trop élevé rend la réponse oscillante ou instable
  2. BL'erreur en régime permanent devient exactement nulle, et la réponse reste toujours stable, sans la moindre oscillation, aussi grand que soit le gain
  3. CLa rapidité de la réponse ne change pas, et seule l'erreur en régime permanent augmente
Afficher la réponse et l'explication

Réponse : A. L'erreur en régime permanent diminue sans s'annuler, et un gain trop élevé rend la réponse oscillante ou instable

La commande proportionnelle est la commande la plus élémentaire : elle délivre une grandeur de commande proportionnelle à l'erreur. Augmenter Kp rend la réponse plus rapide et réduit l'erreur en régime permanent pour un échelon, 1/(1 + Kp·K), où K est le gain statique du procédé ; mais sans erreur, la grandeur de commande serait elle aussi nulle, si bien que l'erreur ne s'annule pas (l'écart statique, ou offset). Augmenter le gain réduit en outre la marge de phase et accroît le dépassement, et un procédé à fort retard devient instable. Pour éliminer l'erreur en régime permanent, on ajoute une action intégrale.

Quelle combinaison du but principal de l'ajout d'une action intégrale (I) dans une régulation PI et de son effet secondaire est correcte ?

  1. ALe but est d'éliminer le bruit à haute fréquence, et l'effet secondaire est une erreur en régime permanent plus grande
  2. BLe but est d'éliminer l'erreur en régime permanent pour une consigne ou une perturbation constante, et l'effet secondaire est un retard de phase qui rend la boucle plus encline à osciller
  3. CLe but est d'anticiper l'évolution de l'erreur pour accélérer la réponse et limiter l'excursion au-delà de la consigne, et l'effet secondaire est une forte amplification du bruit à haute fréquence
Afficher la réponse et l'explication

Réponse : B. Le but est d'éliminer l'erreur en régime permanent pour une consigne ou une perturbation constante, et l'effet secondaire est un retard de phase qui rend la boucle plus encline à osciller

L'action intégrale cumule l'erreur au cours du temps pour former la grandeur de commande : tant qu'il reste la moindre erreur, elle continue de modifier la grandeur de commande et finit par annuler l'erreur en régime permanent. En revanche, un intégrateur retarde la phase de 90°, ce qui réduit la marge de phase et rend dépassement et oscillations plus probables. On règle donc le temps d'intégration Ti pour qu'il ne soit pas trop court. Accélérer la réponse, limiter l'excursion au-delà de la consigne et tendre à amplifier le bruit sont des caractéristiques de l'action dérivée.

  1. Quelle combinaison d'une propriété de l'action dérivée (D) dans une régulation PID et d'une mesure prise lors de sa mise en œuvre est correcte ?
  2. Dans une régulation PID, quelle méthode empêche la grandeur de commande de faire un saut brutal au moment où la consigne change en échelon (coup de dérivée, derivative kick) ?
  3. Dans la méthode de Ziegler–Nichols du gain critique, on augmente le gain en action proportionnelle seule jusqu'à obtenir une oscillation entretenue, puis, à partir de ce gain Ku et de la période d'oscillation Tu, on fixe les paramètres PID à Kp = 0,6Ku, Ti = 0,5Tu et Td = 0,125Tu. Quelles sont les valeurs pour Ku = 8 et Tu = 2 s ?

Questions d'entraînement sur Bases de l'automatique

Termes clés expliqués

Régulation PID
Commande par rétroaction qui fixe la grandeur de commande en additionnant un terme proportionnel à l'erreur e (P), un terme proportionnel à l'intégrale de l'erreur (I) et un terme proportionnel à la dérivée de l'erreur (D). Elle s'écrit u = Kp(e + (1/Ti)∫e dt + Td·de/dt), où Kp est le gain proportionnel, Ti le temps d'intégration et Td le temps de dérivation. Le terme proportionnel apporte la rapidité, le terme intégral élimine l'erreur en régime permanent et le terme dérivé atténue les oscillations. Sa structure est simple, et elle est utilisée dans la plupart des boucles de régulation industrielles, pour la température, les moteurs, les alimentations, les procédés chimiques, etc.
Erreur en régime permanent (erreur statique)
Différence entre la consigne et la grandeur réglée qui subsiste une fois la réponse d'un système asservi stabilisée ; on l'appelle aussi écart statique ou offset. Dans un système à retour unitaire, elle vaut 1/(1 + Kp) pour une consigne en échelon, où Kp = G(0) est la constante d'erreur de position, et elle ne s'annule pas dans un système sans intégrateur dans la chaîne directe (classe 0). Dans un système de classe 1, avec un intégrateur, l'erreur en régime permanent pour un échelon est nulle, et il subsiste une erreur de 1/Kv pour une consigne en rampe (Kv est la constante d'erreur de vitesse). L'action intégrale de la régulation PI sert à éliminer cette erreur.
Dépassement (overshoot)
Le fait que la sortie aille au-delà de sa valeur finale dans une réponse indicielle ou une situation similaire, ainsi que la valeur maximale de cet écart. En automatique, on l'exprime en pourcentage de la valeur finale ; pour un système du second ordre sans zéro, il vaut exp(−πζ/√(1 − ζ²)), déterminé par le seul coefficient d'amortissement ζ. Dans les systèmes à commande par rétroaction, plus la marge de phase est faible, plus le dépassement est grand. En électronique, on emploie le même mot lorsqu'une forme d'onde de signal ou de tension dépasse temporairement son niveau final en raison de l'inductance du câblage ou de réflexions.
Emballement de l'intégrale (windup)
Phénomène dans lequel le terme intégral d'un régulateur PID continue de cumuler l'erreur et devient excessif pendant que la grandeur de commande est saturée à une limite haute ou basse de l'actionneur. Même après le changement de signe de l'erreur, la grandeur de commande reste saturée jusqu'à ce que l'intégrale accumulée diminue, ce qui provoque un fort dépassement et de longues oscillations. On l'évite par des mesures anti-windup comme l'intégration conditionnelle (clamping), qui arrête l'intégration pendant la saturation, le recalcul (back-calculation), qui réinjecte dans l'intégrateur l'écart entre les valeurs avant et après limitation, et l'utilisation de la forme vitesse du PID.
Temps de stabilisation (settling time)
Temps qui s'écoule entre l'application d'une entrée en échelon et le moment où la sortie entre dans une bande donnée autour de sa valeur finale (par exemple ±2 % ou ±5 %) et y reste. Il exprime à la fois la rapidité et la stabilisation d'une réponse ; pour un système du second ordre, le temps de stabilisation à ±2 % est estimé à environ 4/(ζωn), et celui à ±5 % à environ 3/(ζωn). Le temps de stabilisation à ±2 % d'un système du premier ordre vaut environ 3,9T, où T est la constante de temps. Dans les spécifications des convertisseurs A/N et des amplificateurs opérationnels, le temps que met la sortie à se stabiliser avec une précision donnée s'appelle aussi temps de stabilisation.
Système du premier ordre
Système dont la fonction de transfert s'écrit G(s) = K/(1 + Ts), où K est le gain statique et T la constante de temps. Sa sortie pour une entrée en échelon est K(1 − e^(−t/T)) : elle atteint environ 63,2 % de la valeur finale à t = T, environ 95 % à 3T et environ 99,3 % à 5T, sans dépassement. De nombreux systèmes familiers, comme les circuits RC, les systèmes thermiques et les systèmes de niveau de liquide, peuvent être approchés sous cette forme. Dans la réponse en fréquence, le gain décroît de −20 dB/déc au-dessus de la pulsation de cassure 1/T.
Commande par rétroaction
Commande qui mesure la grandeur réglée avec un capteur, la compare à la consigne et modifie la grandeur de commande pour réduire la différence (l'erreur). Comme le signal fait le tour d'une boucle, on parle aussi de commande en boucle fermée. Elle corrige les écarts du résultat quelle qu'en soit la cause, et résiste donc bien aux perturbations et aux variations du procédé, mais elle ne corrige qu'après l'apparition d'une erreur, d'où un retard, et un gain trop élevé entraîne des oscillations ou une instabilité. La régulation PID en est l'exemple type, largement utilisée pour réguler la température, la vitesse, la tension, la position, etc.

Comparatifs associés