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P 제어·PI 제어·PID 제어의 차이: 정상 편차·응답 속도·오버슈트·조정 비교

모두 목표값과 제어량의 차이(편차) e로부터 조작량을 정하는 피드백 제어이며, 쓰는 항의 수가 다릅니다. P 제어는 편차에 비례한 조작량을 내고, PI 제어는 거기에 편차의 적분을, PID 제어는 다시 편차의 미분을 더합니다. P(비례)는 응답 속도, I(적분)는 정상 편차의 제거, D(미분)는 지나침과 진동의 억제를 맡습니다. 적분을 포함하지 않는 제어 대상에서는 P 제어만으로는 편차가 남습니다. PI 제어로 편차는 없어지지만 위상이 지연되어 진동하기 쉬워지며, D를 더하면 그 진동을 억제할 수 있습니다.

비교 항목P 제어PI 제어PID 제어
조작량의 식u = Kp·eu = Kp·e + Ki∫e dtu = Kp·e + Ki∫e dt + Kd·de/dt
계단 목표값에 대한 정상 편차(적분을 포함하지 않는 대상)남는다. 1차 지연 K/(Ts + 1)에서는 1/(1 + K·Kp)0이 된다0이 된다
응답 속도Kp를 올릴수록 빨라진다적분 게인 Ki를 올리면 상승은 빨라지지만 오버슈트가 늘어난다D로 감쇠가 늘어나므로, 오버슈트를 억제하면서 게인을 올리기 쉽다
오버슈트와 진동Kp를 너무 올리면 진동적이 되고, 지연이 큰 대상에서는 불안정해진다적분으로 위상이 90° 지연되므로 P 제어보다 진동하기 쉽다미분이 편차의 변화를 앞질러 억제해 진동을 줄인다
시뮬레이터에서의 예(부동작 시간이 있는 1차 지연 K = 1, T = 10 s, L = 2 s, Kp = 4)정상 편차 0.2, 오버슈트 약 30%Ki = 0.4에서 정상 편차 0, 오버슈트 약 30%여기에 Kd = 4를 더하면 정상 편차 0, 오버슈트 약 7%
잡음에 대한 강인성잡음도 Kp배 된다높은 주파수에서의 게인은 Kp로, P 제어와 같은 정도미분은 높은 주파수일수록 크게 하므로 잡음을 증폭한다. 저역 통과 필터를 조합한 불완전 미분으로 한다
조작량의 포화적분이 없으므로 상한에 붙어 있어도 와인드업은 일어나지 않는다상한에 붙어 있는 동안 적분이 쌓이는 적분 와인드업이 일어난다. 적분을 멈추는 등의 대책이 필요PI 제어와 마찬가지로 적분 와인드업 대책이 필요. 목표값의 급변으로 인한 미분 킥에도 주의한다
조정하는 파라미터와 지글러-니콜스 한계 감도법의 기준값Kp 1개. Kp = 0.5KuKp와 Ti(또는 Ki) 2개. Kp = 0.45Ku, Ti ≈ 0.83TuKp, Ti, Td 3개. Kp = 0.6Ku, Ti = 0.5Tu, Td = 0.125Tu
주요 용도약간의 편차를 허용할 수 있는 제어, 대상이 적분을 포함하는 위치 제어(계단에 대한 편차는 남지 않는다)온도, 유량, 압력, 모터 속도, 전원 전압 등. 실제 제어 루프에서는 D를 쓰지 않는 PI 제어가 많다지연이 크고 지나침을 억제하고 싶은 온도나 위치 제어

수치는 대략적인 자릿수 기준이며, 공정 세대와 제품에 따라 달라져요.

상황별 선택 기준

P 제어
제어 대상이 적분을 포함하거나(모터의 위치 등) 약간의 정상 편차를 허용할 수 있을 때. 가장 간단하며, 조정하는 것은 Kp뿐입니다.
PI 제어
일정한 목표값이나 외란에 대해 정상 편차를 0으로 하고 싶을 때. 잡음에 강하고 조정도 쉬워, 온도, 유량, 속도, 전원 전압 등 많은 제어 루프에서 표준적으로 쓰입니다.
PID 제어
부동작 시간이나 지연이 커서 PI 제어로는 오버슈트나 진동이 클 때. 미분에는 저역 통과 필터를 넣고, 센서의 잡음이 클 때는 D 게인을 낮게 잡습니다.

자주 묻는 질문

P 제어만으로는 왜 정상 편차가 남나요?

조작량이 편차에 비례하므로, 조작량을 계속 내려면 편차가 남아 있어야 하기 때문입니다. 1차 지연 대상 K/(Ts + 1)을 단위 피드백으로 P 제어하면 최종값은 K·Kp/(1 + K·Kp), 편차는 1/(1 + K·Kp)가 되며, K = 1, Kp = 4라면 최종값 0.8, 편차 0.2입니다. Kp를 올리면 편차는 작아지지만 0이 되지는 않고, 너무 올리면 진동합니다.

PI 제어에서 정상 편차가 0이 되는 이유는 무엇인가요?

적분항은 편차가 조금이라도 남아 있는 한 값이 계속 변하므로, 편차가 0이 된 곳에서만 안정되기 때문입니다. 편차가 0이 되어도 적분항에 쌓인 값이 필요한 조작량을 계속 냅니다. 그 대신 적분은 위상을 90° 지연시키므로, 적분을 너무 강하게 하면(적분 시간 Ti를 너무 짧게 하면) 오버슈트와 진동이 늘어납니다.

D(미분)를 더할 때 주의할 점은 무엇인가요?

미분은 높은 주파수 성분일수록 크게 하므로 센서의 잡음을 증폭합니다. 그래서 1차 저역 통과 필터를 조합한 불완전 미분으로 하여, 높은 주파수에서의 게인을 N배 정도(N은 8~20 정도가 많음)로 제한합니다. 또한 목표값을 계단 모양으로 바꾼 순간 조작량이 튀어 오르는 미분 킥을 막기 위해, 미분을 편차가 아니라 측정값에만 거는 방법(PI-D 제어)도 자주 쓰입니다.

게인은 어떤 순서로 조정하면 되나요?

먼저 P 제어만으로 진동하기 시작하기 직전까지 Kp를 올리고, 다음에 I를 더해 정상 편차를 없애고, 오버슈트가 크면 D를 더하는 것이 기본 흐름입니다. 비례 제어에서 지속 진동이 일어나는 게인 Ku와 주기 Tu를 알면 지글러-니콜스의 한계 감도법(PID 제어라면 Kp = 0.6Ku, Ti = 0.5Tu, Td = 0.125Tu)을 출발점으로 삼을 수 있지만, 얻어지는 응답은 진동적이므로 거기서 게인을 낮추어 조정합니다.

이해도 확인

단위 피드백 시스템에서 전향 전달 함수가 G(s) = 9/(1 + 2s)이다. 크기 1의 계단 목표값에 대한 정상 편차로 올바른 것은?

  1. A0
  2. B0.1
  3. C약 0.11
정답과 해설 보기

정답: B. 0.1

단위 피드백 시스템의 계단 입력에 대한 정상 편차는 1/(1 + Kp)이며, Kp = G(0)을 위치 편차 상수라고 부릅니다. 여기서는 Kp = 9이므로 정상 편차는 1/(1 + 9) = 0.1입니다. 전향 경로에 적분을 포함하지 않는(0형) 시스템에서는 이득을 올리면 편차는 작아지지만 0이 되지는 않습니다. 편차를 0으로 하려면 PI 제어 등으로 적분을 더합니다.

적분 요소를 포함하지 않는(0형) 제어 대상을 비례(P) 제어한다. 비례 이득 Kp를 크게 했을 때의 일반적인 변화로 올바른 것은?

  1. A정상 편차는 작아지지만 0이 되지는 않으며, 너무 크게 하면 진동적이 되거나 불안정해진다
  2. B정상 편차가 정확히 0이 되고, 이득을 아무리 크게 해도 응답은 진동하지 않고 반드시 안정하게 유지된다
  3. C응답 속도는 변하지 않고 정상 편차만 커져 간다
정답과 해설 보기

정답: A. 정상 편차는 작아지지만 0이 되지는 않으며, 너무 크게 하면 진동적이 되거나 불안정해진다

비례 제어는 편차에 비례한 조작량을 내는 가장 기본적인 제어입니다. Kp를 크게 하면 응답이 빨라지고 계단 입력에 대한 정상 편차 1/(1 + Kp·K)(K는 제어 대상의 정상 이득)도 작아지지만, 편차가 없으면 조작량도 0이 되므로 편차는 0이 되지 않습니다(오프셋). 또한 이득을 올리면 위상 여유가 줄어 오버슈트가 커지고, 지연이 큰 시스템에서는 불안정해집니다. 정상 편차를 없애려면 적분 동작을 더합니다.

PI 제어에서 적분(I) 동작을 더하는 주된 목적과 그 부작용의 조합으로 올바른 것은?

  1. A목적은 높은 주파수의 잡음을 제거하는 것이고, 부작용은 정상 편차가 커지는 것
  2. B목적은 일정한 목표값이나 외란에 대한 정상 편차를 없애는 것이고, 부작용은 위상이 늦어져 진동하기 쉬워지는 것
  3. C목적은 편차의 변화를 미리 읽어 응답을 빠르게 하고 최종값을 넘어서는 것을 억제하는 것이고, 부작용은 높은 주파수의 잡음을 크게 증폭하는 것
정답과 해설 보기

정답: B. 목적은 일정한 목표값이나 외란에 대한 정상 편차를 없애는 것이고, 부작용은 위상이 늦어져 진동하기 쉬워지는 것

적분 동작은 편차를 시간에 대해 누적하여 조작량으로 삼으므로, 편차가 조금이라도 남아 있는 한 조작량을 계속 바꾸어 최종적으로 정상 편차를 0으로 만듭니다. 반면 적분 요소는 위상을 90° 늦추므로 위상 여유가 줄고, 오버슈트나 진동이 일어나기 쉬워집니다. 그래서 적분 시간 Ti를 너무 짧게 하지 않도록 조정합니다. 응답을 빠르게 하고 넘어서는 것을 억제하며 잡음을 증폭하기 쉬운 것은 미분 동작의 특징입니다.

  1. PID 제어의 미분(D) 동작의 성질과 구현에서의 대책의 조합으로 올바른 것은?
  2. PID 제어에서 목표값을 계단 형태로 바꾼 순간 조작량이 크게 튀어 오르는 것(미분 킥)을 막는 방법으로 올바른 것은?
  3. 지글러-니콜스의 한계 감도법에서는 비례 제어만으로 이득을 올려 지속 진동이 일어났을 때의 이득 Ku와 진동 주기 Tu로부터 PID 제어의 파라미터를 Kp = 0.6Ku, Ti = 0.5Tu, Td = 0.125Tu로 정한다. Ku = 8, Tu = 2 s일 때의 값으로 올바른 것은?

제어 공학의 기초 문제 풀기

주요 용어 설명

PID 제어(PID Control)
편차 e에 비례하는 항(P), 편차의 적분에 비례하는 항(I), 편차의 미분에 비례하는 항(D)을 더해 조작량을 정하는 피드백 제어. u = Kp(e + (1/Ti)∫e dt + Td·de/dt)로 쓰며, Kp를 비례 이득, Ti를 적분 시간, Td를 미분 시간이라고 부른다. 비례는 속도, 적분은 정상 편차 제거, 미분은 진동 억제를 담당한다. 구조가 간단하여 온도, 모터, 전원, 화학 공정 등 산업 제어 루프의 대부분에서 쓰이고 있다.
정상 편차(Steady-state Error)
제어계의 응답이 수렴한 뒤에 남는 목표값과 제어량의 차. 오프셋이라고도 부른다. 단위 피드백 시스템에서는 계단 목표값에 대해 1/(1 + Kp)(Kp = G(0)은 위치 편차 상수)가 되며, 전향 경로에 적분을 포함하지 않는(0형) 시스템에서는 0이 되지 않는다. 적분을 1개 포함하는 1형 시스템에서는 계단 입력에 대한 정상 편차가 0이 되고, 램프 목표값에 대해서는 1/Kv(Kv는 속도 편차 상수)의 편차가 남는다. PI 제어의 적분 동작은 이 편차를 없애기 위해 쓰인다.
오버슈트(Overshoot)
계단 응답 등에서 출력이 최종값을 넘어서는 것. 또 그 최대의 초과량. 제어 공학에서는 최종값에 대한 비율(%)로 나타내며, 영점이 없는 2차 지연계에서는 감쇠비 ζ만으로 정해지는 exp(−πζ/√(1 − ζ²))가 된다. 피드백 제어계에서는 위상 여유가 작을수록 커진다. 전자 회로에서는 배선의 인덕턴스나 반사 때문에 신호나 전압 파형이 일시적으로 최종 레벨을 넘는 현상도 같은 이름으로 부른다.
적분 와인드업(Integral Windup)
조작량이 액추에이터의 상한이나 하한에서 포화되어 있는 동안에도 PID 제어의 적분항이 편차를 계속 누적하여 과대해지는 현상. 편차의 부호가 바뀌어도 쌓아 둔 적분이 줄어들 때까지 조작량이 포화된 채로 남아, 큰 오버슈트나 긴 진동을 일으킨다. 포화 중에는 적분을 멈추는 조건부 적분(클램핑), 제한 전과 제한 후의 차이를 적분으로 되돌리는 역계산(back-calculation), 속도형 PID의 사용 등의 안티 와인드업으로 막는다.
정정 시간(Settling Time)
계단 입력을 가한 뒤 출력이 최종값의 정해진 범위(±2%나 ±5% 등)에 들어가 그 후 그 범위를 벗어나지 않게 될 때까지의 시간. 응답의 빠르기와 안정됨을 함께 나타내는 지표로, 2차 지연계에서는 ±2%의 정정 시간이 약 4/(ζωn), ±5%에서는 약 3/(ζωn)으로 어림된다. 1차 지연계의 ±2% 정정 시간은 약 3.9T(T는 시정수)이다. ADC나 연산 증폭기의 사양에서도 출력이 지정된 정밀도로 안정될 때까지의 시간을 정정 시간이라고 부른다.
1차 지연계(First-order System)
전달 함수가 G(s) = K/(1 + Ts)로 나타나는 시스템. K는 정상 이득, T는 시정수이다. 계단 입력에 대한 출력은 K(1 − e^(−t/T))이며, t = T에서 최종값의 약 63.2%, 3T에서 약 95%, 5T에서 약 99.3%에 도달하고, 최종값을 넘어서는 일(오버슈트)은 없다. RC 회로, 열 시스템, 액면 시스템 등 많은 친숙한 시스템을 이 형태로 근사할 수 있다. 주파수 응답에서는 각주파수 1/T를 절점으로 하여 이득이 −20 dB/dec로 떨어진다.
피드백 제어(Feedback Control)
제어량을 센서로 측정하여 목표값과 비교하고, 그 차(편차)가 작아지도록 조작량을 바꾸는 제어. 신호가 루프를 한 바퀴 돌므로 폐루프 제어라고도 부른다. 원인과 관계없이 결과의 어긋남을 바로잡으므로 외란이나 제어 대상의 변화에 강하지만, 편차가 나타난 뒤에 수정하므로 지연이 있고, 이득이 너무 높으면 진동이나 불안정을 초래한다. PID 제어가 대표적이며, 온도, 속도, 전압, 위치 등의 제어에 널리 쓰인다.

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