Was ist Satz von Bayes?
Beziehung, mit der sich die Richtung einer bedingten Wahrscheinlichkeit umkehren lässt: P(A | B) = P(B | A) × P(A) ÷ P(B). Sie dient dazu, die A-priori-Wahrscheinlichkeit P(A) einer Ursache A anhand eines beobachteten Ergebnisses B zur A-posteriori-Wahrscheinlichkeit P(A | B) zu aktualisieren. Angewendet wird sie etwa zur Berechnung des positiven Vorhersagewerts von Tests, zur Spam-Erkennung (Naive Bayes) und zur Ermittlung von Ausfallursachen. Aus dem Satz folgt auch der „Einfluss der Basisrate“: Ist die Ursache selten, sind selbst bei einem genauen Test die meisten positiven Ergebnisse falsch.
Japanische Bezeichnung: ベイズの定理
„Satz von Bayes“ kommt in 2 Übungsfragen aus 2 Themen vor, z. B. Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik und Warteschlangen, Grundlagen des maschinellen Lernens.
Fachgebiet: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik und Warteschlangen
Bedeutung der Formel
Der Satz von Bayes lautet P(A | B) = P(B | A) × P(A) ÷ P(B). P(A) ist die Wahrscheinlichkeit der Ursache A, bevor man das Ergebnis kennt (A-priori-Wahrscheinlichkeit), P(B | A) die Wahrscheinlichkeit, das Ergebnis B zu beobachten, wenn die Ursache A vorliegt (Likelihood), und P(A | B) die Wahrscheinlichkeit der Ursache A, nachdem man das Ergebnis B gesehen hat (A-posteriori-Wahrscheinlichkeit). Der Nenner P(B) ist die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses B über die Fälle mit und ohne Ursache zusammen und wird als P(B) = P(B | A) × P(A) + P(B | nicht A) × P(nicht A) berechnet.
Überlegung an einem Testbeispiel
Angenommen, 0,1 % der Teile sind defekt, und ein Test stuft 99 % der defekten Teile als positiv ein, aber auch 1 % der guten Teile fälschlich als positiv. Bei 1.000.000 Teilen werden 990 der 1000 defekten Teile positiv, aber auch 9990 der 999.000 guten Teile. Von den positiven Teilen sind nur 990 ÷ (990 + 9990) ≈ 9 % wirklich defekt. Ersetzt man die Wahrscheinlichkeiten so durch konkrete Stückzahlen und stellt eine Tabelle auf, rechnet man richtig, auch ohne die Formel auswendig zu kennen.
Häufige Fragen
Warum sind selbst bei einem genauen Test die meisten positiven Ergebnisse falsch?
Weil bei einer sehr seltenen Ursache (Defekt oder Krankheit) in der untersuchten Gesamtheit mehr gute Teile fälschlich positiv werden, als es echte Positive gibt. Gibt es zum Beispiel 1000-mal so viele gute wie defekte Teile, ist die Zahl der positiven Ergebnisse schon bei 1 % Fehlerquote etwa 10-mal so groß wie die Zahl der defekten Teile. Wie sehr man einem positiven Ergebnis trauen kann, hängt nicht nur von der Genauigkeit des Tests ab, sondern auch vom ursprünglichen Anteil (der Basisrate).
Worin unterscheidet er sich von der bedingten Wahrscheinlichkeit?
Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Größe „Wahrscheinlichkeit von A, wenn B eingetreten ist“ selbst; der Satz von Bayes ist die Formel, die die Beziehung zwischen P(A | B) und der umgekehrten Richtung P(B | A) ausdrückt. Man verwendet ihn, wenn man als Genauigkeit eines Tests P(positiv | defekt) kennt, aber P(defekt | positiv) wissen möchte.