べいずのていり
条件付き確率の向きを入れ替える関係式で、P(A | B) = P(B | A) × P(A) ÷ P(B) と表す。原因Aの事前確率 P(A) を、観測した結果Bをもとに事後確率 P(A | B) に更新する計算に使う。検査の陽性的中率の計算、迷惑メールの判定(ナイーブベイズ)、故障の原因の推定などに使われる。原因がまれなときは、精度の高い検査でも陽性の多くが誤りになる「基準率の影響」がこの定理から分かる。
「ベイズの定理」は、2分野の2問の練習問題に出てきます(確率・統計と待ち行列, 機械学習の基礎など)。
この用語の分野: 確率・統計と待ち行列
ベイズの定理は P(A | B) = P(B | A) × P(A) ÷ P(B) と書きます。P(A) は結果を見る前の原因Aの確率(事前確率)、P(B | A) は原因Aがあるときに結果Bが観測される確率(尤度)、P(A | B) は結果Bを見た後の原因Aの確率(事後確率)です。分母の P(B) は、原因がある場合とない場合を合わせて結果Bが起こる確率で、P(B) = P(B | A) × P(A) + P(B | Aでない) × P(Aでない) と計算します。
不良品の割合が0.1%のとき、不良品の99%を陽性と判定し、良品の1%を誤って陽性と判定する検査を考えます。100万個で考えると、不良品1,000個のうち990個が陽性になり、良品999,000個のうち9,990個も陽性になります。陽性のうち本当に不良なのは 990 ÷ (990 + 9,990) ≈ 9% にすぎません。このように、具体的な個数に置き換えて表を作ると、式を覚えていなくても正しく計算できます。
迷惑メールの判定では、単語ごとの出現の確率からメールが迷惑メールである確率を求めるナイーブベイズ分類が古くから使われています。装置の故障の診断では、観測された症状から考えられる原因の確率を更新します。新しいデータが届くたびに事後確率を次の事前確率として使えば、推定を少しずつ改善できます。
正解：B. 約19%
10,000個で考えると、不良の100個のうち95個が陽性になり、良品の9,900個のうち396個も陽性になります。陽性の491個のうち実際に不良なのは95個なので、95 ÷ 491 ≈ 0.19、つまり約19%です。ベイズの定理で書くと、P(不良 | 陽性) = 0.01 × 0.95 ÷ (0.01 × 0.95 + 0.99 × 0.04) ≈ 0.19 です。不良がまれなときは、誤って陽性と判定する割合が小さくても、陽性の中に良品が多く混じります。これを基準率(事前確率)の影響といいます。
正解：C. 0.71
ベイズの定理より、P(スパム | 単語) = P(単語 | スパム) × P(スパム) ÷ P(単語) です。分子は 0.5 × 0.2 = 0.10、単語を含む確率は P(単語) = 0.5 × 0.2 + 0.05 × 0.8 = 0.14 なので、0.10 ÷ 0.14 ≈ 0.71です。ナイーブベイズ分類は、複数の単語(特徴量)がクラスごとに互いに独立であると仮定し、それぞれの確率を掛け合わせてこの計算を行う方法で、スパムの判定に古くから使われています。
調べる対象の中で原因(不良や病気)が非常にまれだと、誤って陽性になる良品の数が、本当の陽性の数より多くなるからです。例えば良品が不良品の1,000倍あれば、1%の誤りでも、陽性の数は不良品の約10倍になります。陽性の結果をどれだけ信じてよいかは、検査の精度だけでなく、もとの割合(基準率)にも左右されます。
条件付き確率は「Bが起きたときにAが起きる確率」という量そのもので、ベイズの定理は、その向きを入れ替えた P(A | B) と P(B | A) の関係を表す式です。検査の精度として分かっているのは P(陽性 | 不良) で、知りたいのは P(不良 | 陽性) という場面で、この定理を使います。
ベイズの定理で書くと、P(不良 | 陽性) = 0.01 × 0.95 ÷ (0.01 × 0.95 + 0.99 × 0.04) ≈ 0.19 です。
あるチップの集団では、潜在的な不良を持つチップの割合が1%である。スクリーニングの検査は、不良のチップの95%を陽性と…ベイズの定理より、P(スパム | 単語) = P(単語 | スパム) × P(スパム) ÷ P(単語) です。
メール全体の20%がスパムである。ある単語は、スパムの50%と、スパムでないメールの5%に含まれる。この単語を含むメー…Amazonの検索結果へのリンクです。Amazonのアソシエイトとして、半導体教室は適格販売により収入を得ています。