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Qu'est-ce que Théorème de Bayes ?

Relation qui inverse le sens d'une probabilité conditionnelle : P(A | B) = P(B | A) × P(A) ÷ P(B). Elle sert à mettre à jour la probabilité a priori P(A) d'une cause A en probabilité a posteriori P(A | B), à partir d'un résultat observé B. On l'utilise pour calculer la valeur prédictive positive d'un test, pour filtrer les spams (classifieur bayésien naïf) ou pour estimer la cause d'une panne. Ce théorème explique l'« effet du taux de base » : lorsque la cause est rare, la plupart des résultats positifs peuvent être erronés même avec un test précis.

Nom japonais: ベイズの定理

« Théorème de Bayes » apparaît dans 2 questions d'entraînement réparties sur 2 thèmes, dont Probabilités, statistiques et files d'attente, Bases de l'apprentissage automatique.

Domaine: Probabilités, statistiques et files d'attente

Sens de la formule

Le théorème de Bayes s'écrit P(A | B) = P(B | A) × P(A) ÷ P(B). P(A) est la probabilité de la cause A avant de voir le résultat (probabilité a priori), P(B | A) la probabilité d'observer le résultat B lorsque la cause A est présente (vraisemblance), et P(A | B) la probabilité de la cause A après avoir vu le résultat B (probabilité a posteriori). Le dénominateur P(B) est la probabilité que le résultat B se produise, que la cause soit présente ou non ; il se calcule par P(B) = P(B | A) × P(A) + P(B | non A) × P(non A).

L'exemple d'un test

Considérons un test appliqué à des produits dont 0,1 % sont défectueux : il déclare positifs 99 % des produits défectueux et, à tort, 1 % des produits bons. Sur 1 million de produits, 990 des 1000 produits défectueux sont positifs, et 9990 des 999 000 produits bons le sont aussi. Parmi les positifs, seuls 990 ÷ (990 + 9990) ≈ 9 % sont réellement défectueux. En remplaçant ainsi les probabilités par des effectifs concrets et en dressant un tableau, on calcule correctement sans même se souvenir de la formule.

Domaines d'utilisation

Pour filtrer les spams, on utilise depuis longtemps la classification bayésienne naïve, qui calcule la probabilité qu'un message soit un spam à partir de la probabilité d'apparition de chaque mot. Pour diagnostiquer les pannes d'un équipement, on met à jour la probabilité des causes possibles en fonction des symptômes observés. En réutilisant la probabilité a posteriori comme nouvelle probabilité a priori à chaque arrivée de nouvelles données, on améliore progressivement l'estimation.

S'entraîner : questions sur Théorème de Bayes

Dans une population de puces, 1 % présentent un défaut latent. Un test de criblage déclare positives 95 % des puces défectueuses et, à tort, 4 % des puces bonnes. Quelle valeur est la plus proche de la probabilité qu'une puce déclarée positive soit réellement défectueuse ?

  1. AEnviron 4,9 %
  2. BEnviron 19 %
  3. CEnviron 95 %
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Réponse : B. Environ 19 %

Sur 10 000 puces, 95 des 100 puces défectueuses sont positives, et 396 des 9900 puces bonnes le sont aussi. Sur les 491 positives, seules 95 sont réellement défectueuses : 95 ÷ 491 ≈ 0,19, soit environ 19 %. Avec le théorème de Bayes, P(défectueuse | positive) = 0,01 × 0,95 ÷ (0,01 × 0,95 + 0,99 × 0,04) ≈ 0,19. Quand les défauts sont rares, beaucoup de puces bonnes se mêlent aux positives, même si le taux de faux positifs est faible. C'est l'effet du taux de base (probabilité a priori).

20 % de l'ensemble des e-mails sont des spams. Un certain mot figure dans 50 % des spams et dans 5 % des autres e-mails. Quelle valeur est la plus proche de la probabilité qu'un e-mail contenant ce mot soit un spam ?

  1. A0,10
  2. B0,50
  3. C0,71
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Réponse : C. 0,71

D'après le théorème de Bayes, P(spam | mot) = P(mot | spam) × P(spam) ÷ P(mot). Le numérateur vaut 0,5 × 0,2 = 0,10, et la probabilité de contenir le mot vaut P(mot) = 0,5 × 0,2 + 0,05 × 0,8 = 0,14, d'où 0,10 ÷ 0,14 ≈ 0,71. La classification bayésienne naïve suppose que plusieurs mots (caractéristiques) sont indépendants entre eux au sein de chaque classe et effectue ce calcul en multipliant leurs probabilités ; elle est utilisée depuis longtemps pour la détection de spam.

Questions fréquentes

Pourquoi la plupart des résultats positifs peuvent-ils être erronés, même avec un test précis ?

Parce que, lorsque la cause recherchée (défaut ou maladie) est très rare dans la population testée, le nombre de produits bons déclarés positifs à tort dépasse le nombre de vrais positifs. Par exemple, s'il y a 1000 fois plus de produits bons que de produits défectueux, même 1 % d'erreurs donne environ 10 fois plus de positifs que de produits défectueux. La confiance que l'on peut accorder à un résultat positif dépend non seulement de la précision du test, mais aussi de la proportion initiale (le taux de base).

En quoi diffère-t-il de la probabilité conditionnelle ?

La probabilité conditionnelle est la grandeur elle-même, « la probabilité que A se produise lorsque B s'est produit », tandis que le théorème de Bayes est la formule qui relie P(A | B) à P(B | A), où le sens est inversé. On l'utilise lorsque l'on connaît la précision du test, P(positif | défectueux), et que l'on veut connaître P(défectueux | positif).

« Théorème de Bayes » dans les explications

Questions mentionnant « Théorème de Bayes » (2)

  1. Dans une population de puces, 1 % présentent un défaut latent. Un test de criblage déclare positives 95 % des puces défectueuses et, à tort, 4 % des puces bonnes. Quelle valeur est la plus proche de la probabilité qu'une puce déclarée positive soit réellement défectueuse ?
  2. 20 % de l'ensemble des e-mails sont des spams. Un certain mot figure dans 50 % des spams et dans 5 % des autres e-mails. Quelle valeur est la plus proche de la probabilité qu'un e-mail contenant ce mot soit un spam ?

Termes associés

Arrangements et combinaisons Coefficient de corrélation Écart type Espérance (espérance mathématique) Intervalle de confiance Loi binomiale Loi de Poisson Loi exponentielle Loi normale Médiane

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