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什麼是相量

把同一頻率的正弦波交流電壓或電流，以大小（通常是有效值）與相位的複數表示。v(t) = 100√2 sin(ωt + 30°) 寫成 100∠30° V。微分變成乘以 jω，積分變成除以 jω，使交流電路的計算可以像直流一樣用代數處理。

日文名稱: フェーザ

「相量」出現在1領域的8道練習題中（電路分析（交流電路、線性電路與暫態現象）等）。

這個名詞所屬的領域: 電路分析（交流電路、線性電路與暫態現象）

從時間波形到複數

角頻率 ω 相同的正弦波之間，不同的只有大小與相位。相量就是省略隨時間旋轉的 e^(jωt) 部分，只把大小與相位當作複數 V = |V|∠θ = |V|(cos θ + j sin θ) 處理。把 V 乘上 √2 與 e^(jωt) 後取虛部（或實部），即可回到原來的波形。大小要用有效值還是最大值屬於慣例，便於計算功率的有效值較常用。

微分與積分變成乘法與除法

線圈的電壓 v = L di/dt 以相量表示為 V = jωL I，電容器的電流 i = C dv/dt 為 I = jωC V。這就是阻抗 jωL 與 1/(jωC) 的由來。克希荷夫定律、戴維寧定理與重疊定理都能直接以複數使用，因此交流電路可以當作聯立一次方程式求解。

相量圖

在複數平面上把電壓與電流的相量畫成箭頭的圖稱為相量圖。串聯電路以電流、並聯電路以電壓為基準（實軸方向）比較容易看。在計算之前，就能從圖上確認RLC電路各部電壓構成直角三角形，以及功率因數改善時電容器電流抵銷落後電流的情形。

練習相量的題目

將正弦波交流電壓 v(t) = 100√2 sin(ωt + π/6) [V] 以有效值為大小的相量（極座標形式）表示，下列哪一項正確？

  1. A100∠60° V
  2. B100∠30° V
  3. C141∠30° V
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正確答案：B. 100∠30° V

解法1（由定義）：相量的大小是有效值，即最大值 100√2 V 除以 √2 的100 V。角度為初相位 π/6 rad = 30°，因此是 100∠30° V。解法2（以複數確認）：100∠30° = 100(cos 30° + j sin 30°) = 86.6 + j50 V，乘上 √2 與 e^(jωt) 後取虛部，即回到原來的 v(t)。在電路計算中，一般以有效值而非最大值作為相量的大小。

某負載的電壓與電流相量（有效值）為 V = 100∠0° V、I = 5∠−30° A。此負載的虛功率大小為下列哪一項？

  1. A250 var
  2. B約433 var
  3. C500 var
查看答案與解析

正確答案：A. 250 var

解法1（由功率因數角）：電流比電壓落後30°，因此有效功率 P = VI cos 30° ≈ 433 W，虛功率 Q = VI sin 30° = 100 × 5 × 0.5 = 250 var。解法2（複數功率）：複數功率 S = V × （I的共軛） = 100∠0° × 5∠30° = 500∠30° ≈ 433 + j250 VA，實部為有效功率，虛部為虛功率。虛部為正，表示負載吸收250 var的落後（電感性）虛功率。視在功率為 |S| = 500 VA。

常見問題

相量能用於非正弦波的波形嗎？

只有在所有電壓與電流都是同一頻率的正弦波、且電路為線性時才能使用。失真的波形要先以傅立葉級數分解成各頻率的正弦波，再對每個頻率以相量計算後重疊。開關剛閉合時這類暫態現象，則使用拉普拉斯轉換。

相量與拉普拉斯轉換有什麼關係？

把拉普拉斯轉換的 s 換成 jω，s域的阻抗 sL、1/(sC) 就成為相量的阻抗 jωL、1/(jωC)。相量可以看成只處理正弦波穩態的拉普拉斯轉換特例。

解析中的「相量」

出現「相量」的題目（8題）

  1. 將正弦波交流電壓 v(t) = 100√2 sin(ωt + π/6) [V] 以有效值為大小的相量（極座標形式）表示，下列哪一項正確？
  2. 某負載的電壓與電流相量（有效值）為 V = 100∠0° V、I = 5∠−30° A。此負載的虛功率大小為下列哪一項？
  3. 在圖中的並聯RLC電路，流過電阻R、線圈L、電容器C的電流有效值分別為 IR = 4 A、IL = 5 A、IC = 2 A。從電源流出的電流 I 的有效值為下列哪一項？
  4. 在圖中的並聯RLC電路，將電源頻率調到共振頻率 f0 = 1/(2π√(LC)) 時，其性質下列哪一項正確？
  5. 在圖中的串聯RLC電路，R = 10 Ω、ωL = 30 Ω、1/(ωC) = 20 Ω，電源電壓有效值 V = 100 V。電路電流 I 的有效值與其相對於電源電壓的相位，下列組合哪一項正確？
  6. 在線電壓200 V（有效值）的平衡三相電源上，如圖(b)連接每相為20 Ω電阻的Δ接負載。線電流的有效值最接近下列哪一項？
  7. 在圖(b)的RC高通濾波器輸入角頻率 ω = 1/(RC) 的正弦波。輸出相對於輸入的振幅與相位關係，下列哪一項正確？
  8. 在圖(a)的電路中，R = 10 Ω，使用的角頻率下電容器的電抗為 1/(ωC) = 10 Ω，輸入電壓為 vin = 10∠0° V（有效值）。從輸出端子看進去的戴維寧等效電路之內部阻抗 Zth 為下列哪一項？

相關名詞

有效值 導納 阻抗 電抗 虛功率 功率因數 共振電路 三相交流 轉移函數 戴維寧定理

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