Qu'est-ce que Équation aux différences ?

Équation qui exprime la sortie d'un système à temps discret comme une somme pondérée de l'entrée actuelle, des entrées passées et des sorties passées. Par exemple, y[n] = x[n] + 0,5y[n − 1] ajoute à l'entrée actuelle la moitié de la sortie précédente. Une équation sans sortie passée dans le membre de droite correspond à un filtre FIR, et une équation avec des sorties passées (avec rétroaction) correspond généralement à un filtre IIR, dont la réponse impulsionnelle se prolonge indéfiniment. Avec des valeurs initiales, elle se calcule pas à pas et se réalise directement en logiciel ou en matériel. Appliquer la transformée en z aux deux membres donne la fonction de transfert H(z).

Nom japonais: 差分方程式

« Équation aux différences » apparaît dans 2 questions d'entraînement réparties sur 1 thèmes, dont Bases du traitement numérique du signal.

Domaine: Bases du traitement numérique du signal

S'entraîner : questions sur Équation aux différences

Un échelon unité (x[n] = 1 pour n ≥ 0) est appliqué à partir de n = 0 au système décrit par l'équation aux différences y[n] = x[n] + 0,5y[n − 1]. Avec y[−1] = 0, quelle est la valeur de y[2] ?

A1,75
B1,875
C2

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Réponse : A. 1,75

En calculant pas à pas, y[0] = 1 + 0,5 × 0 = 1, y[1] = 1 + 0,5 × 1 = 1,5 et y[2] = 1 + 0,5 × 1,5 = 1,75. En continuant, on obtient y[n] = 2 − 0,5ⁿ, qui tend vers la valeur finale 1/(1 − 0,5) = 2. Comme les sorties passées sont utilisées (il y a une rétroaction), il s'agit d'un filtre IIR dont la réponse impulsionnelle 0,5ⁿ se prolonge indéfiniment.

Quelle est la fonction de transfert H(z) = Y(z)/X(z) du système décrit par l'équation aux différences y[n] = x[n] + 0,5x[n − 1] + 0,25y[n − 1] ?

A(1 + 0,5z⁻¹)/(1 + 0,25z⁻¹)
B(1 − 0,25z⁻¹)/(1 + 0,5z⁻¹)
C(1 + 0,5z⁻¹)/(1 − 0,25z⁻¹)

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Réponse : C. (1 + 0,5z⁻¹)/(1 − 0,25z⁻¹)

Un retard d'un échantillon correspond, dans la transformée en z, à une multiplication par z⁻¹ : en transformant les deux membres, on obtient Y(z) = X(z) + 0,5z⁻¹X(z) + 0,25z⁻¹Y(z). En regroupant les termes en Y(z) à gauche, on obtient (1 − 0,25z⁻¹)Y(z) = (1 + 0,5z⁻¹)X(z), donc H(z) = (1 + 0,5z⁻¹)/(1 − 0,25z⁻¹). Le numérateur contient les coefficients du côté de l'entrée et le dénominateur ceux de la rétroaction de la sortie ; z = 0,25, qui annule le dénominateur, est un pôle, et z = −0,5, qui annule le numérateur, est un zéro.

Questions mentionnant « Équation aux différences » (2)

Termes associés

Filtre IIR Réponse impulsionnelle Transformée en z Convolution Décimation Filtre à moyenne mobile Filtre FIR Fonction de fenêtrage Fuite spectrale Phase linéaire

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