이산 시간 신호 x[n]을 복소수 z의 함수 X(z) = Σx[n]z^(−n)으로 변환하는 방법. 1샘플의 지연은 z⁻¹을 곱하는 것에 해당하므로, 차분 방정식을 z의 분수식(전달 함수 H(z))으로 다룰 수 있다. H(z)의 분모를 0으로 만드는 z를 극점, 분자를 0으로 만드는 z를 영점이라 하며, 인과적인 시스템은 모든 극점이 단위원 안쪽에 있을 때 안정하다. z = e^(jω)로 두고 단위원 위에서 평가하면 주파수 응답을 얻는다. 연속 시간의 라플라스 변환에 해당하는 도구이다.
일본어 명칭: z変換
z 변환(z-transform)은(는) 디지털 신호 처리의 기초 등 1개 분야의 연습 문제 1개에 나와요.
분야: 디지털 신호 처리의 기초
예를 들어 y[n] = x[n] + 0.5x[n − 1] + 0.25y[n − 1]의 양변을 z 변환하면 Y(z) = X(z) + 0.5z⁻¹X(z) + 0.25z⁻¹Y(z)가 되고, 정리하면 H(z) = (1 + 0.5z⁻¹)/(1 − 0.25z⁻¹)입니다. 분자가 입력 쪽, 분모가 출력의 귀환 쪽을 나타내며, 계수를 그대로 옮겨 읽는 것만으로 필터의 구조와 전달 함수를 오갈 수 있습니다.
어떤 주파수에서의 이득 크기는 단위원 위의 점 e^(jω)에서 각 영점까지의 거리의 곱을 각 극점까지의 거리의 곱으로 나눈 것에 비례합니다. 따라서 영점이 단위원 위에 있으면 그 주파수의 이득은 0이 되고(노치), 극점이 단위원 근처에 있으면 그 주파수 부근에서 이득이 크게 솟아오릅니다. 극점과 영점의 배치를 보는 것만으로 필터 특성의 대략적인 모양을 알 수 있습니다.
인과적인 시스템의 임펄스 응답은 극점 p마다 pⁿ 형태의 성분을 포함하므로, |p| < 1이면 시간이 지남에 따라 작아지고 |p| > 1이면 계속 커집니다. 모든 극점이 단위원 안쪽에 있는 것이 안정의 조건이며, 단위원 위에 극점이 있는 시스템(예를 들어 z = 1에 극점이 있는 누산기)은 유계 입력에 대해 출력이 한없이 커질 수 있으므로 BIBO 안정이 아닙니다.
정답: C. (1 + 0.5z⁻¹)/(1 − 0.25z⁻¹)
1샘플의 지연은 z 변환에서는 z⁻¹을 곱하는 것에 해당하므로, 양변을 z 변환하면 Y(z) = X(z) + 0.5z⁻¹X(z) + 0.25z⁻¹Y(z)입니다. Y(z)의 항을 좌변으로 모으면 (1 − 0.25z⁻¹)Y(z) = (1 + 0.5z⁻¹)X(z)가 되어 H(z) = (1 + 0.5z⁻¹)/(1 − 0.25z⁻¹)입니다. 분자는 입력 쪽, 분모는 출력의 귀환 쪽 계수를 나타내며, 분모를 0으로 만드는 z = 0.25가 극점, 분자를 0으로 만드는 z = −0.5가 영점입니다.
z 변환에서 z = e^(jω)(단위원 위)로 둔 것이 이산 시간 푸리에 변환(DTFT)입니다. z 변환은 단위원의 안쪽과 바깥쪽도 포함하여 z를 넓게 생각함으로써, 극점이나 영점의 위치로부터 시스템의 안정성이나 특성을 논의할 수 있게 한 것입니다. 유한 길이 신호의 DFT는 DTFT를 단위원 위의 N개 등간격 점에서 구한 것에 해당합니다.
x[n − 1]의 z 변환은 Σx[n − 1]z^(−n)이며, m = n − 1로 치환하면 z⁻¹Σx[m]z^(−m) = z⁻¹X(z)가 되기 때문입니다. 이 때문에 블록도에서는 지연 소자를 'z⁻¹'로 쓰고, 디지털 필터를 곱셈·덧셈·z⁻¹의 조합으로 나타냅니다.
1샘플의 지연은 z 변환에서는 z⁻¹을 곱하는 것에 해당하므로, 양변을 z 변환하면 Y(z) = X(z) + 0.5z⁻¹X(z) + 0.25z⁻¹Y(z)입니다.
차분 방정식 y[n] = x[n] + 0.5x[n − 1] + 0.25y[n − 1]로 표현되는 시스템의 …차분 방정식(Difference Equation) 고속 푸리에 변환(FFT) 군지연(Group Delay) 데시메이션(Decimation) 선형 위상(Linear Phase) 스펙트럼 누설(Spectral Leakage) 이동 평균 필터(Moving Average Filter) 이산 푸리에 변환(Discrete Fourier Transform) 임펄스 응답(Impulse Response) 주파수 분해능(Frequency Resolution)