シャノンの定理とは
しゃのんのていり
帯域幅B、信号対雑音比S/Nの通信路で、誤りなく送れる伝送速度の理論上の上限(通信路容量)が C = B·log₂(1 + S/N) で与えられるという定理(シャノン・ハートレーの定理)。S/Nは真数で使う。帯域幅には比例するが、S/Nには対数でしか増えない。
「シャノンの定理」は、2分野の3問の練習問題に出てきます(情報理論と符号の基礎, 無線通信の基礎など)。
この用語の分野: 無線通信の基礎
式の読み方
C = B·log₂(1 + S/N) のCは1秒あたりのビット数、Bは帯域幅(Hz)、S/Nは信号と雑音の電力比(真数)です。例えば、帯域幅20 MHz、S/N 30 dB(電力比1000)では、C = 20×10⁶ × log₂(1001) ≈ 200 Mbit/sです。容量を帯域幅で割った C/B は、1 Hzあたりに送れるビット数(周波数利用効率)の上限を表します。
帯域幅とS/Nの効き方
S/Nを保ったまま帯域幅を2倍にすると容量は2倍になります。一方、S/Nが大きいときにS/Nを2倍(約3 dB増)にしても、容量は1 Hzあたり約1 bit/sしか増えません。ただし、送信電力が一定のまま帯域幅を広げると、雑音の電力も帯域幅に比例して増えてS/Nが下がるので、容量は帯域幅に比例するほどは増えません。高速化のために広い帯域を使えるミリ波帯が使われるのは、このためです。
実際の通信との関係
シャノンの定理は、理想的な符号を使えば誤り率をいくらでも小さくできる上限を示すもので、具体的な方式を示すものではありません。実際の無線通信は、多値の変調と、ターボ符号やLDPC符号、ポーラ符号などの強力な誤り訂正符号を組み合わせて、この上限に近づけています。MIMOの空間多重は、複数の通信路を並べることで、1つの通信路の上限を超える伝送速度を得る方法です。
シャノンの定理の練習問題に挑戦
0と1を送り、各ビットが互いに独立に確率0.1で反転する二元対称通信路がある。2値のエントロピー関数を H(p) = −p log₂ p − (1 − p) log₂(1 − p) とすると、H(0.1) ≈ 0.469 である。この通信路の、1回の伝送あたりの通信路容量に最も近いものはどれか。
- A約0.47ビット
- B約0.53ビット
- C0.9ビット
帯域幅20 MHz、S/N(信号対雑音比)30 dBの通信路で、シャノンの定理から求められる通信路容量(誤りなく送れる伝送速度の理論上の上限)に最も近いものはどれか。
- A100 Mbit/s
- B200 Mbit/s
- C600 Mbit/s
よくある質問
S/NはdBのまま式に入れてよいですか?
いいえ。式のS/Nは電力比の真数です。30 dBなら10³ = 1000、20 dBなら100に直してから計算します。30 dBを30として計算すると、容量を半分程度に見誤ります。
ナイキストの定理とはどう違いますか?
ナイキストの式は、雑音のない通信路で帯域幅Bのとき、M値の信号では最大 2B·log₂ M ビット/秒を送れることを示します。値の数Mを増やせば速度はいくらでも上がるように見えますが、実際には雑音があるので、区別できる値の数には限りがあります。その限界を雑音を含めて示したのがシャノンの定理です。
解説の中の「シャノンの定理」
二元対称通信路の通信路容量は C = 1 − H(p) で、0と1を等しい確率で送るときの相互情報量の値です。
0と1を送り、各ビットが互いに独立に確率0.1で反転する二元対称通信路がある。2値のエントロピー関数を H(p) = …シャノンの定理では、通信路容量は C = B·log₂(1 + S/N) で、S/Nには真数(電力比)を使います。
帯域幅20 MHz、S/N(信号対雑音比)30 dBの通信路で、シャノンの定理から求められる通信路容量(誤りなく送れる…通信路符号化定理は、通信路容量Cより小さい速度なら、十分に長い符号を使うことで誤り率をいくらでも小さくでき、Cを超える速度ではそれができないことを示します。
シャノンの通信路符号化定理の内容として、正しいものはどれか。
「シャノンの定理」が出てくる問題(3問)
無線通信の基礎の参考書を探す PR
Amazonの検索結果へのリンクです。Amazonのアソシエイトとして、半導体教室は適格販売により収入を得ています。
関連する用語
ECC(誤り訂正符号) 二元対称通信路 情報エントロピー 相互情報量 NFC(Near Field Communication) LPWA(Low Power Wide Area) OFDM(直交周波数分割多重) 隠れ端末問題 QAM(直交振幅変調) 雑音指数(NF)