Qu'est-ce que Théorème de Shannon (Shannon-Hartley) ?
Théorème (de Shannon-Hartley) selon lequel, pour un canal de largeur de bande B et de rapport signal sur bruit S/N, la limite théorique du débit transmissible sans erreur (la capacité du canal) vaut C = B·log₂(1 + S/N). Le S/N y est pris en valeur linéaire. La capacité est proportionnelle à la largeur de bande, mais ne croît que de façon logarithmique avec le S/N.
Nom japonais: シャノンの定理
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Domaine: Bases des communications sans fil
Lecture de la formule
Dans C = B·log₂(1 + S/N), C est le nombre de bits par seconde, B la largeur de bande (Hz) et S/N le rapport des puissances du signal et du bruit (en valeur linéaire). Par exemple, pour une largeur de bande de 20 MHz et un S/N de 30 dB (rapport de puissances de 1000), C = 20×10⁶ × log₂(1001) ≈ 200 Mbit/s. La capacité divisée par la largeur de bande, C/B, représente la limite du nombre de bits transmissibles par Hz (efficacité spectrale).
Effets de la largeur de bande et du S/N
Doubler la largeur de bande à S/N constant double la capacité. En revanche, quand le S/N est élevé, le doubler (environ +3 dB) n'ajoute qu'environ 1 bit/s par Hz. Toutefois, si l'on élargit la bande à puissance d'émission constante, la puissance du bruit augmente elle aussi proportionnellement à la largeur de bande et le S/N diminue : la capacité n'augmente donc pas proportionnellement à la largeur de bande. C'est pour cette raison que l'on utilise, pour monter en débit, les bandes millimétriques, où de larges bandes sont disponibles.
Questions fréquentes
Peut-on mettre le S/N en dB directement dans la formule ?
Non. Le S/N de la formule est un rapport de puissances en valeur linéaire. On convertit d'abord 30 dB en 10³ = 1000, ou 20 dB en 100, puis on calcule. Si l'on calcule avec 30 pour 30 dB, on se trompe d'environ la moitié sur la capacité.
Quelle est la différence avec le théorème de Nyquist ?
La formule de Nyquist indique que, sur un canal sans bruit de largeur de bande B, un signal à M niveaux permet de transmettre au plus 2B·log₂ M bits par seconde. Il semble alors que l'on puisse augmenter le débit sans limite en augmentant le nombre de niveaux M, mais en réalité le bruit limite le nombre de niveaux que l'on peut distinguer. C'est cette limite, bruit compris, qu'exprime le théorème de Shannon.