Wat is Stelling van Shannon (Shannon-Hartley)?

Een stelling die zegt dat voor een kanaal met bandbreedte B en signaal-ruisverhouding S/N de theoretische bovengrens van de foutloze transmissiesnelheid (de kanaalcapaciteit) C = B·log₂(1 + S/N) is (stelling van Shannon-Hartley). S/N wordt als lineaire verhouding gebruikt. De capaciteit is evenredig met de bandbreedte, maar groeit slechts logaritmisch met de S/N.

Japanse benaming: シャノンの定理

“Stelling van Shannon (Shannon-Hartley)” komt voor in 1 oefenvragen uit 1 onderwerpen, bijv. Basis van draadloze communicatie.

Vakgebied: Basis van draadloze communicatie

De formule lezen

In C = B·log₂(1 + S/N) is C het aantal bits per seconde, B de bandbreedte (Hz) en S/N de lineaire vermogensverhouding tussen signaal en ruis. Met bijvoorbeeld een bandbreedte van 20 MHz en een S/N van 30 dB (een vermogensverhouding van 1000) is C = 20×10⁶ × log₂(1001) ≈ 200 Mbit/s. De capaciteit gedeeld door de bandbreedte, C/B, is de bovengrens van het aantal bits dat per hertz kan worden verzonden (spectrale efficiëntie).

Hoe bandbreedte en S/N de capaciteit beïnvloeden

Een verdubbeling van de bandbreedte bij dezelfde S/N verdubbelt de capaciteit. Als de S/N groot is, levert een verdubbeling ervan (ongeveer +3 dB) daarentegen slechts ongeveer 1 bit/s per Hz extra op. Als de bandbreedte wordt vergroot terwijl het zendvermogen gelijk blijft, stijgt echter ook het ruisvermogen evenredig met de bandbreedte en daalt de S/N, zodat de capaciteit minder dan evenredig met de bandbreedte groeit. Daarom worden voor hogere snelheden millimetergolfbanden gebruikt, waar brede bandbreedtes beschikbaar zijn.

Verband met praktische communicatie

De stelling van Shannon geeft de grens waaronder de foutkans met ideale codes willekeurig klein kan worden gemaakt; ze schrijft geen concrete methode voor. Praktische radiosystemen benaderen deze grens door modulatie met meer niveaus te combineren met krachtige foutcorrigerende codes zoals turbocodes, LDPC-codes en polaire codes. Ruimtelijke multiplexing met MIMO haalt snelheden boven de grens van één kanaal door meerdere kanalen naast elkaar te gebruiken.

Nu oefenen: vragen over Stelling van Shannon (Shannon-Hartley)

Een kanaal heeft een bandbreedte van 20 MHz en een S/N (signaal-ruisverhouding) van 30 dB. Welke waarde ligt het dichtst bij de kanaalcapaciteit (de theoretische bovengrens van de foutloze transmissiesnelheid) volgens de stelling van Shannon?

A100 Mbit/s
B200 Mbit/s
C600 Mbit/s

Antwoord en toelichting tonen

Antwoord: B. 200 Mbit/s

Volgens de stelling van Shannon is de kanaalcapaciteit C = B·log₂(1 + S/N), waarbij S/N als lineaire waarde (vermogensverhouding) wordt ingevuld. 30 dB is een vermogensverhouding van 10³ = 1000, dus C = 20×10⁶ × log₂(1001) ≈ 20×10⁶ × 9,97 ≈ 200 Mbit/s. Een twee keer zo grote bandbreedte bij dezelfde S/N verdubbelt de capaciteit, maar als de S/N al groot is, levert een verdubbeling van de S/N (ongeveer +3 dB) slechts ongeveer 1 bit/s per Hz extra op. Praktische systemen combineren foutcorrigerende codes en meerwaardige modulatie om deze grens te benaderen.

Veelgestelde vragen

Mag de S/N in dB in de formule worden ingevuld?

Nee. De S/N in de formule is een lineaire vermogensverhouding. Zet 30 dB om in 10³ = 1000 en 20 dB in 100 voordat je rekent. Wie voor 30 dB het getal 30 invult, schat de capaciteit ongeveer de helft te laag.

Wat is het verschil met de formule van Nyquist?

De formule van Nyquist laat zien dat een ruisvrij kanaal met bandbreedte B met signalen van M niveaus hoogstens 2B·log₂ M bits per seconde kan overbrengen. Door M te vergroten lijkt de snelheid onbeperkt te kunnen stijgen, maar in werkelijkheid beperkt ruis hoeveel niveaus te onderscheiden zijn. De stelling van Shannon geeft die grens met de ruis meegerekend.

“Stelling van Shannon (Shannon-Hartley)” in de toelichting

Volgens de stelling van Shannon is de kanaalcapaciteit C = B·log₂(1 + S/N), waarbij S/N als lineaire waarde (vermogensverhouding) wordt ingevuld.
Een kanaal heeft een bandbreedte van 20 MHz en een S/N (sig…

Vragen met “Stelling van Shannon (Shannon-Hartley)” (1)

Een kanaal heeft een bandbreedte van 20 MHz en een S/N (signaal-ruisverhouding) van 30 dB. Welke waarde ligt het dichtst bij de kanaalcapaciteit (de theoretische bovengrens van de foutloze transmissiesnelheid) volgens de stelling van Shannon?

Verwante termen

ECC (foutcorrigerende code) Beamforming (bundelvorming) BLE (Bluetooth Low Energy) Directe-conversieontvanger (zero-IF) Fading Linkbudget LPWA (low-power wide-area) MIMO (multiple-input multiple-output) NFC (near field communication) OFDM (orthogonal frequency-division multiplexing)

Naar de woordenlijst