りさんふーりえへんかん
N個のサンプル x[0]〜x[N − 1] を、N個の周波数の成分 X[0]〜X[N − 1] に変換する計算。X[k] = Σx[n]e^(−j2πkn/N) で定義され、k番目の成分は周波数 k·fs/N に対応する。ビンの間隔 fs/N は観測時間の逆数で、周波数分解能の目安になる。実数の信号では X[N − k] が X[k] の複素共役になるので、k = 0〜N/2 で情報がそろう。定義どおりに計算すると約 N² 回の演算が必要だが、高速フーリエ変換(FFT)で約 N log₂N 回に減らせる。略称はDFTで、テスト容易化設計のDFTとは別の語である。
「離散フーリエ変換」は、2分野の2問の練習問題に出てきます(デジタル信号処理の基礎, 無線通信の基礎など)。
この用語の分野: デジタル信号処理の基礎
DFTは、観測した N 点の区間が周期的にくり返す信号を前提にしています。正弦波の周期が区間にちょうど整数個入っていれば、その成分は1つのビンに収まりますが、半端な場合は区間の両端が不連続につながったものとして扱われ、エネルギーが周りのビンに広がります(スペクトル漏れ)。そのため、測定ではDFTの前に窓関数を掛けて、区間の両端をなめらかにすることがよくあります。
k = 0 は直流(全サンプルの和)、k = N/2 はナイキスト周波数に当たります。k が N/2 を超えるビンは負の周波数に対応し、実数の信号では k のビンと鏡像の関係になります。例えば fs = 48 kHz、N = 1024 なら、ビンの間隔は 46.875 Hz で、1 kHz の成分は k ≈ 21.3、つまり k = 21 と22 の間に現れます。
逆変換 x[n] = (1/N)ΣX[k]e^(j2πkn/N) で、元のサンプルに正確に戻せます。係数 1/N をどちらに付けるかは流儀によって異なり、1/√N ずつ両方に分ける定義もあります。X[k] を上のように定義した場合、時間の側と周波数の側のエネルギーの間には Σ|X[k]|² = N·Σ|x[n]|² の関係(パーセバルの定理)が成り立ちます。
正解：B. 約46.9 Hz
N点のDFTのビンの間隔は Δf = fs/N で、48000 ÷ 1024 = 46.875 Hz ≈ 46.9 Hz です。k番目のビンは周波数 k × Δf に対応し、k = 0 が直流、k = N/2 = 512 がナイキスト周波数の24 kHz です。Δf は観測時間 T = N/fs ≈ 21.3 ms の逆数でもあり、ビンの間隔を細かくするには観測時間を長くする必要があります。
DFTは「何を計算するか」という変換の定義で、FFTはそれを「速く計算する方法(アルゴリズム)」です。FFTの結果は、丸め誤差を除いてDFTの定義どおりの値と一致します。N = 1024 なら、演算の回数はおよそ100分の1になります。
上がりません。0を付け足すとビンの間隔は細かくなり、スペクトルを補間した値が得られますが、新しい情報は加わらないので、近い周波数を見分ける能力は、実際に観測したデータの長さで決まったままです。見分ける能力を上げるには、より長い時間のデータを取る必要があります。
SC-FDMAは、データを離散フーリエ変換(DFT)してからサブキャリアに載せることで、シングルキャリアに近い、PAPRの小さい信号にする方式です。
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ナイキスト周波数 OFDM(直交周波数分割多重) IIRフィルタ 移動平均フィルタ インパルス応答 FIRフィルタ 群遅延 高速フーリエ変換(FFT) 差分方程式 周波数分解能