N개의 샘플 x[0]~x[N − 1]을 N개의 주파수 성분 X[0]~X[N − 1]로 변환하는 계산. X[k] = Σx[n]e^(−j2πkn/N)으로 정의되며, k번째 성분은 주파수 k·fs/N에 대응한다. 빈의 간격 fs/N은 관측 시간의 역수로, 주파수 분해능의 기준이 된다. 실수 신호에서는 X[N − k]가 X[k]의 켤레 복소수가 되므로 k = 0~N/2로 정보가 모두 갖추어진다. 정의대로 계산하면 약 N²회의 연산이 필요하지만, 고속 푸리에 변환(FFT)으로 약 N log₂N회로 줄일 수 있다. 약칭은 DFT이며, 테스트 용이화 설계의 DFT와는 다른 용어이다.
일본어 명칭: 離散フーリエ変換
이산 푸리에 변환(Discrete Fourier Transform)은(는) 디지털 신호 처리의 기초, 무선 통신의 기초 등 2개 분야의 연습 문제 2개에 나와요.
분야: 디지털 신호 처리의 기초
DFT는 관측한 N점의 구간이 주기적으로 반복되는 신호를 전제로 합니다. 사인파의 주기가 구간에 정확히 정수 개 들어 있으면 그 성분은 하나의 빈에 들어가지만, 어중간한 경우에는 구간의 양 끝이 불연속으로 이어진 것으로 취급되어 에너지가 주변 빈으로 퍼집니다(스펙트럼 누설). 그래서 측정에서는 DFT 전에 창 함수를 곱해 구간의 양 끝을 매끄럽게 하는 경우가 많습니다.
k = 0은 직류(모든 샘플의 합), k = N/2는 나이퀴스트 주파수에 해당합니다. k가 N/2를 넘는 빈은 음의 주파수에 대응하며, 실수 신호에서는 k의 빈과 거울상 관계가 됩니다. 예를 들어 fs = 48 kHz, N = 1024이면 빈의 간격은 46.875 Hz이고, 1 kHz 성분은 k ≈ 21.3, 즉 k = 21과 22 사이에 나타납니다.
역변환 x[n] = (1/N)ΣX[k]e^(j2πkn/N)으로 원래의 샘플로 정확히 되돌릴 수 있습니다. 계수 1/N을 어느 쪽에 붙이는지는 관례에 따라 다르며, 1/√N씩 양쪽에 나누는 정의도 있습니다. X[k]를 위와 같이 정의한 경우, 시간 쪽과 주파수 쪽의 에너지 사이에는 Σ|X[k]|² = N·Σ|x[n]|²의 관계(파스발 정리)가 성립합니다.
정답: B. 약 46.9 Hz
N점 DFT의 빈 간격은 Δf = fs/N으로, 48000 ÷ 1024 = 46.875 Hz ≈ 46.9 Hz입니다. k번째 빈은 주파수 k × Δf에 대응하며, k = 0이 직류, k = N/2 = 512가 나이퀴스트 주파수인 24 kHz입니다. Δf는 관측 시간 T = N/fs ≈ 21.3 ms의 역수이기도 하므로, 빈의 간격을 촘촘하게 하려면 관측 시간을 길게 해야 합니다.
DFT는 '무엇을 계산하는가'라는 변환의 정의이고, FFT는 그것을 '빠르게 계산하는 방법(알고리즘)'입니다. FFT의 결과는 반올림 오차를 제외하면 DFT의 정의대로 계산한 값과 일치합니다. N = 1024이면 연산 횟수는 약 100분의 1이 됩니다.
올라가지 않습니다. 0을 덧붙이면 빈의 간격은 촘촘해지고 스펙트럼을 보간한 값을 얻을 수 있지만, 새로운 정보는 더해지지 않으므로 가까운 주파수를 구별하는 능력은 실제로 관측한 데이터의 길이로 결정된 그대로입니다. 구별하는 능력을 높이려면 더 긴 시간의 데이터를 얻어야 합니다.
SC-FDMA는 데이터를 이산 푸리에 변환(DFT)한 후 부반송파에 싣는 방식으로, 단일 반송파에 가까운 PAPR이 작은 신호로 만듭니다.
4G LTE의 상향 링크(단말에서 기지국으로의 송신)에서 하향 링크의 OFDMA가 아니라 SC-FDMA(D…나이퀴스트 주파수(Nyquist frequency) OFDM(직교 주파수 분할 다중) 고속 푸리에 변환(FFT) 군지연(Group Delay) 데시메이션(Decimation) 선형 위상(Linear Phase) 스펙트럼 누설(Spectral Leakage) 이동 평균 필터(Moving Average Filter) 임펄스 응답(Impulse Response) 주파수 분해능(Frequency Resolution)