什麼是差分方程式
以目前與過去的輸入，以及過去的輸出的加權和，來表示離散時間系統輸出的式子。例如 y[n] = x[n] + 0.5y[n − 1] 是把前1個輸出的一半加到目前的輸入上。右邊不含過去輸出的是FIR濾波器，含有過去輸出（有回授）的通常是脈衝響應無限延續的IIR濾波器。給定初始值即可依序計算，能直接以程式或硬體實作。兩邊做z轉換即得轉移函數 H(z)。
日文名稱: 差分方程式
「差分方程式」出現在1領域的2道練習題中（數位訊號處理基礎等）。
這個名詞所屬的領域: 數位訊號處理基礎
練習差分方程式的題目
對差分方程式 y[n] = x[n] + 0.5y[n − 1] 表示的系統，從 n = 0 起輸入單位步階（n ≥ 0 時 x[n] = 1）。y[−1] = 0 時，y[2] 為下列何者？
- A1.75
- B1.875
- C2
以差分方程式 y[n] = x[n] + 0.5x[n − 1] + 0.25y[n − 1] 表示的系統，其轉移函數 H(z) = Y(z)/X(z) 為下列何者？
- A(1 + 0.5z⁻¹)/(1 + 0.25z⁻¹)
- B(1 − 0.25z⁻¹)/(1 + 0.5z⁻¹)
- C(1 + 0.5z⁻¹)/(1 − 0.25z⁻¹)
查看答案與解析
正確答案：C. (1 + 0.5z⁻¹)/(1 − 0.25z⁻¹)
延遲1個取樣點在z轉換中相當於乘上 z⁻¹，因此兩邊做z轉換得 Y(z) = X(z) + 0.5z⁻¹X(z) + 0.25z⁻¹Y(z)。把 Y(z) 的項移到左邊，得 (1 − 0.25z⁻¹)Y(z) = (1 + 0.5z⁻¹)X(z)，所以 H(z) = (1 + 0.5z⁻¹)/(1 − 0.25z⁻¹)。分子表示輸入側的係數，分母表示輸出回授側的係數；使分母為0的 z = 0.25 是極點，使分子為0的 z = −0.5 是零點。
出現「差分方程式」的題目（2題）
相關名詞
脈衝響應 無限脈衝響應濾波器（IIR） z轉換 有限脈衝響應濾波器（FIR） 快速傅立葉轉換（FFT） 降取樣 移動平均濾波器 窗函數 群延遲 摺積（卷積）