Wat is Differentievergelijking?

Vergelijking die de uitgang van een discrete-tijdsysteem uitdrukt als een gewogen som van de huidige en vroegere ingangswaarden en vroegere uitgangswaarden. Zo telt y[n] = x[n] + 0,5y[n − 1] de helft van de vorige uitgangswaarde op bij de huidige ingangswaarde. Een vergelijking zonder vroegere uitgangswaarden in het rechterlid hoort bij een FIR-filter, en een vergelijking met vroegere uitgangswaarden (met terugkoppeling) hoort gewoonlijk bij een IIR-filter, waarvan de impulsrespons eindeloos doorloopt. Met beginwaarden kan ze stap voor stap worden berekend en rechtstreeks in software of hardware worden geïmplementeerd. De z-transformatie van beide leden geeft de overdrachtsfunctie H(z).

Japanse benaming: 差分方程式

“Differentievergelijking” komt voor in 2 oefenvragen uit 1 onderwerpen, bijv. Basis van digitale signaalverwerking.

Vakgebied: Basis van digitale signaalverwerking

Nu oefenen: vragen over Differentievergelijking

Op het systeem dat wordt beschreven door de differentievergelijking y[n] = x[n] + 0,5y[n − 1] wordt vanaf n = 0 een eenheidsstap (x[n] = 1 voor n ≥ 0) aangeboden. Wat is y[2] als y[−1] = 0?

A1,75
B1,875
C2

Antwoord en toelichting tonen

Antwoord: A. 1,75

Stap voor stap: y[0] = 1 + 0,5 × 0 = 1, y[1] = 1 + 0,5 × 1 = 1,5 en y[2] = 1 + 0,5 × 1,5 = 1,75. Doorrekenen geeft y[n] = 2 − 0,5ⁿ, dat naar de eindwaarde 1/(1 − 0,5) = 2 gaat. Omdat vroegere uitgangswaarden worden gebruikt (er is terugkoppeling), is dit een IIR-filter waarvan de impulsrespons 0,5ⁿ eindeloos doorloopt.

Wat is de overdrachtsfunctie H(z) = Y(z)/X(z) van het systeem dat wordt beschreven door de differentievergelijking y[n] = x[n] + 0,5x[n − 1] + 0,25y[n − 1]?

A(1 + 0,5z⁻¹)/(1 + 0,25z⁻¹)
B(1 − 0,25z⁻¹)/(1 + 0,5z⁻¹)
C(1 + 0,5z⁻¹)/(1 − 0,25z⁻¹)

Antwoord en toelichting tonen

Antwoord: C. (1 + 0,5z⁻¹)/(1 − 0,25z⁻¹)

Een vertraging van één sample komt bij de z-transformatie overeen met vermenigvuldigen met z⁻¹, dus de z-transformatie van beide leden geeft Y(z) = X(z) + 0,5z⁻¹X(z) + 0,25z⁻¹Y(z). De termen met Y(z) links verzamelen geeft (1 − 0,25z⁻¹)Y(z) = (1 + 0,5z⁻¹)X(z), dus H(z) = (1 + 0,5z⁻¹)/(1 − 0,25z⁻¹). De teller bevat de coëfficiënten aan de ingangskant en de noemer die van de terugkoppeling van de uitgang; z = 0,25, waarvoor de noemer 0 wordt, is een pool, en z = −0,5, waarvoor de teller 0 wordt, is een nulpunt.

Vragen met “Differentievergelijking” (2)

Verwante termen

IIR-filter Impulsrespons Z-transformatie Convolutie Decimatie Discrete fouriertransformatie FIR-filter Frequentieresolutie Groepsvertraging (group delay) Lineaire fase

Naar de woordenlijst