Qu'est-ce que Diagramme de Bode ?

Représentation de la réponse en fréquence d'un système par deux graphiques portant le logarithme de la fréquence en abscisse, et le gain (dB) et la phase (degrés) en ordonnée. Un produit de fonctions de transfert devient une somme de gains (en dB) et de phases : on peut donc tracer le diagramme en additionnant les tracés de chaque élément. Chaque pôle supplémentaire modifie la pente du gain de −20 dB/déc et ajoute jusqu'à 90° de retard de phase. On lit la marge de gain et la marge de phase sur le diagramme de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte pour étudier la stabilité.

Nom japonais: ボード線図

« Diagramme de Bode » apparaît dans 4 questions d'entraînement réparties sur 1 thèmes, dont Bases de l'automatique.

Domaine: Bases de l'automatique

Tracer l'approximation asymptotique

Un élément du premier ordre 1/(1 + s/ωc) est approché par une droite horizontale à 0 dB en dessous de ωc et par une droite à −20 dB/déc au-dessus. Le gain réel à la cassure vaut environ −3 dB, et la phase vaut −45° à la cassure et passe d'environ 0° à −90° entre un dixième et dix fois la fréquence de cassure. Un zéro ajoute à l'inverse une pente de +20 dB/déc et une avance de phase, et un intégrateur 1/s ajoute sur tout le diagramme une pente de −20 dB/déc et −90°.

Lire les marges de stabilité

La marge de phase est le nombre de degrés qui sépare encore la phase de −180° à la fréquence où le gain de la fonction de transfert en boucle ouverte traverse 0 dB (la fréquence de croisement du gain). La marge de gain est le nombre de décibels dont le gain est inférieur à 0 dB à la fréquence où la phase atteint −180° (la fréquence de croisement de phase). La fréquence de croisement du gain indique aussi la rapidité de la boucle : plus elle est élevée, plus la réponse en boucle fermée est rapide.

Différence avec un diagramme de Nyquist

Tracer la même réponse en fréquence sous forme d'une seule courbe dans le plan complexe donne un diagramme de Nyquist (lieu de transfert). Le diagramme de Bode offre une échelle de fréquence facile à lire et se trace en additionnant les éléments, ce qui convient à la conception. Le diagramme de Nyquist montre directement la stabilité d'après sa position par rapport au point −1 et reste utilisable lorsque la fonction de transfert en boucle ouverte est elle-même instable.

S'entraîner : questions sur Diagramme de Bode

Quelle description du diagramme de Bode du système du premier ordre G(s) = 1/(1 + sT) est correcte ?

AÀ la pulsation de cassure ω = 1/T, le gain vaut environ −3 dB et la phase −45°, et bien au-delà le gain décroît de −20 dB/déc
BÀ la pulsation de cassure ω = 1/T, le gain vaut −6 dB et la phase −90°, et bien au-delà le gain décroît avec une pente de −40 dB/déc
CLe gain vaut 0 dB à toutes les fréquences, et seule la phase se retarde proportionnellement à la fréquence

Afficher la réponse et l'explication

Réponse : A. À la pulsation de cassure ω = 1/T, le gain vaut environ −3 dB et la phase −45°, et bien au-delà le gain décroît de −20 dB/déc

Le module de G(jω) = 1/(1 + jωT) vaut 1/√(1 + (ωT)²), soit 1/√2 (environ −3 dB) pour ω = 1/T, où la phase vaut −45°. Bien au-delà de 1/T, le module tend vers 1/(ωT) et le gain diminue de 20 dB chaque fois que la fréquence est multipliée par dix (−20 dB/déc). La phase passe de 0° aux basses fréquences à −90° aux hautes fréquences. Dans l'approximation asymptotique du diagramme de Bode, le gain est tracé comme une droite horizontale à 0 dB en dessous de la cassure et une droite à −20 dB/déc au-dessus.

Quelle description du diagramme de Bode d'un intégrateur G(s) = 1/s est correcte ?

ALe gain vaut 0 dB à toutes les fréquences, et la phase vaut −90° à toutes les fréquences
BLe gain est une droite de +20 dB/déc qui passe par 0 dB à ω = 1 rad/s, et la phase vaut +90° à toutes les fréquences
CLe gain est une droite de −20 dB/déc qui passe par 0 dB à ω = 1 rad/s, et la phase vaut −90° à toutes les fréquences

Afficher la réponse et l'explication

Réponse : C. Le gain est une droite de −20 dB/déc qui passe par 0 dB à ω = 1 rad/s, et la phase vaut −90° à toutes les fréquences

Le module de G(jω) = 1/(jω) vaut 1/ω : il vaut donc 0 dB à ω = 1 rad/s et diminue de 20 dB chaque fois que la fréquence est multipliée par dix. Comme 1/j = −j, la phase vaut −90° à toutes les fréquences. Comme le gain croît sans limite aux basses fréquences, un système comportant un intégrateur peut annuler l'erreur en régime permanent pour une consigne en échelon. Une droite de +20 dB/déc avec une phase de +90° correspond à un dérivateur s.

Questions fréquentes

Que signifie −20 dB/déc sur un diagramme de Bode ?

C'est la pente avec laquelle le gain diminue de 20 dB, c'est-à-dire l'amplitude est divisée par dix, chaque fois que la fréquence est multipliée par dix (une décade). Chaque pôle supplémentaire rend la pente plus raide de −20 dB/déc. C'est la même pente que −6 dB/oct, une baisse d'environ 6 dB chaque fois que la fréquence double.

Comment mesure-t-on un diagramme de Bode ?

On applique une sinusoïde dont on balaie la fréquence et l'on mesure l'amplitude et la phase de la sortie. Pour les boucles de régulation des alimentations, une méthode courante consiste à insérer une petite résistance dans la boucle, à injecter un signal à ses bornes et à mesurer la fonction de transfert en boucle ouverte avec un analyseur de réponse en fréquence.

« Diagramme de Bode » dans les explications

Dans l'approximation asymptotique du diagramme de Bode, le gain est tracé comme une droite horizontale à 0 dB en dessous de la cassure et une droite à −20 dB/déc au-dessus.
Quelle description du diagramme de Bode du système du premi…

Questions mentionnant « Diagramme de Bode » (4)

Termes associés

Système du premier ordre Erreur en régime permanent (erreur statique) Marge de gain Marge de phase Fonction de transfert Commande par anticipation (feedforward) Commande par rétroaction Critère de Routh–Hurwitz Dépassement (overshoot) Emballement de l'intégrale (windup)

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