Qu'est-ce que Transformée de Fourier discrète ?
Calcul qui convertit N échantillons x[0] à x[N − 1] en N composantes fréquentielles X[0] à X[N − 1]. Elle est définie par X[k] = Σx[n]e^(−j2πkn/N), et la composante k correspond à la fréquence k·fs/N. L'espacement des bins fs/N est l'inverse de la durée d'observation et donne une indication de la résolution fréquentielle. Pour un signal réel, X[N − k] est le conjugué complexe de X[k] : les bins k = 0 à N/2 contiennent donc toute l'information. Calculée d'après la définition, elle demande environ N² opérations, que la transformée de Fourier rapide (FFT) ramène à environ N log₂N. Son abréviation est DFT, qui n'a rien à voir avec le DFT au sens de la conception en vue du test.
Nom japonais: 離散フーリエ変換
« Transformée de Fourier discrète » apparaît dans 2 questions d'entraînement réparties sur 2 thèmes, dont Bases du traitement numérique du signal, Bases des communications sans fil.
Domaine: Bases du traitement numérique du signal
Lire les bins de fréquence
k = 0 correspond à la composante continue (la somme de tous les échantillons), et k = N/2 à la fréquence de Nyquist. Les bins dont k dépasse N/2 correspondent aux fréquences négatives et, pour un signal réel, sont le reflet du bin k. Par exemple, avec fs = 48 kHz et N = 1024, l'espacement des bins vaut 46,875 Hz, et une composante de 1 kHz apparaît en k ≈ 21,3, entre k = 21 et 22.
Questions fréquentes
Quelle différence y a-t-il entre la transformée de Fourier discrète et la FFT ?
La DFT est la définition de la transformation, « ce qu'il faut calculer », et la FFT est « une façon rapide de le calculer » (un algorithme). Les résultats de la FFT concordent avec la définition de la DFT, aux erreurs d'arrondi près. Pour N = 1024, le nombre d'opérations est divisé par environ 100.
Le remplissage par des zéros améliore-t-il la résolution fréquentielle ?
Non. Ajouter des zéros rend l'espacement des bins plus fin et donne des valeurs interpolées du spectre, mais aucune information nouvelle n'est ajoutée : la capacité à distinguer des fréquences proches reste fixée par la longueur des données réellement observées. Pour l'améliorer, il faut enregistrer des données sur une durée plus longue.