Wat is Discrete fouriertransformatie?

Berekening die N samples x[0] tot en met x[N − 1] omzet in N frequentiecomponenten X[0] tot en met X[N − 1]. Ze is gedefinieerd door X[k] = Σx[n]e^(−j2πkn/N), en component k hoort bij de frequentie k·fs/N. De binafstand fs/N is het omgekeerde van de waarnemingstijd en is een maat voor de frequentieresolutie. Bij een reëel signaal is X[N − k] de complex geconjugeerde van X[k], dus de bins k = 0 tot en met N/2 bevatten alle informatie. Volgens de definitie berekend kost ze ongeveer N² bewerkingen, wat de snelle fouriertransformatie (FFT) terugbrengt tot ongeveer N log₂N. De afkorting is DFT, die niets te maken heeft met DFT in de betekenis van design for testability.

Japanse benaming: 離散フーリエ変換

“Discrete fouriertransformatie” komt voor in 2 oefenvragen uit 2 onderwerpen, bijv. Basis van digitale signaalverwerking, Basis van draadloze communicatie.

Vakgebied: Basis van digitale signaalverwerking

Wat de DFT veronderstelt

De DFT veronderstelt dat de N waargenomen punten één periode vormen van een zich herhalend signaal. Als een sinusgolf een geheel aantal perioden in het interval laat passen, valt de component in één bin; anders wordt het interval behandeld alsof de twee uiteinden discontinu op elkaar aansluiten, en verspreidt de energie zich over de omliggende bins (spectrale lekkage). Bij metingen wordt daarom vaak vóór de DFT een vensterfunctie toegepast om beide uiteinden van het interval vloeiend te maken.

De frequentiebins aflezen

k = 0 komt overeen met DC (de som van alle samples) en k = N/2 met de nyquistfrequentie. Bins met k boven N/2 horen bij negatieve frequenties en zijn bij een reëel signaal het spiegelbeeld van bin k. Met fs = 48 kHz en N = 1024 is de binafstand bijvoorbeeld 46,875 Hz, en verschijnt een component van 1 kHz bij k ≈ 21,3, tussen k = 21 en 22.

De inverse transformatie en de stelling van Parseval

De inverse transformatie x[n] = (1/N)ΣX[k]e^(j2πkn/N) geeft de oorspronkelijke samples exact terug. Waar de factor 1/N staat, verschilt per conventie, en sommige definities verdelen hem als 1/√N over beide kanten. Met X[k] gedefinieerd zoals hierboven zijn de energieën in het tijddomein en het frequentiedomein verbonden door Σ|X[k]|² = N·Σ|x[n]|² (de stelling van Parseval).

Nu oefenen: vragen over Discrete fouriertransformatie

Een met 48 kHz bemonsterd signaal wordt geanalyseerd met een discrete fouriertransformatie (DFT) van 1024 punten. Wat is de afstand tussen de frequentiebins?

AOngeveer 23,4 Hz
BOngeveer 46,9 Hz
COngeveer 93,8 Hz

Antwoord en toelichting tonen

Antwoord: B. Ongeveer 46,9 Hz

De binafstand van een DFT van N punten is Δf = fs/N, en 48.000 ÷ 1024 = 46,875 Hz ≈ 46,9 Hz. Bin k hoort bij de frequentie k × Δf: k = 0 is de gelijkspanningscomponent (DC) en k = N/2 = 512 is de nyquistfrequentie van 24 kHz. Δf is ook het omgekeerde van de waarnemingstijd T = N/fs ≈ 21,3 ms, dus fijnere bins vergen een langere waarnemingstijd.

Veelgestelde vragen

Wat is het verschil tussen de discrete fouriertransformatie en de FFT?

De DFT is de definitie van de transformatie, „wat er berekend wordt”, en de FFT is „een snelle manier om het te berekenen” (een algoritme). De resultaten van de FFT komen, op afrondingsfouten na, overeen met de definitie van de DFT. Bij N = 1024 daalt het aantal bewerkingen tot ongeveer 1/100.

Verbetert zero-padding de frequentieresolutie?

Nee. Nullen toevoegen maakt de binafstand fijner en geeft geïnterpoleerde waarden van het spectrum, maar er komt geen nieuwe informatie bij, dus het vermogen om dicht bij elkaar liggende frequenties te onderscheiden blijft bepaald door de lengte van de werkelijk waargenomen gegevens. Om het te verbeteren, moeten gegevens over een langere tijd worden opgenomen.

“Discrete fouriertransformatie” in de toelichting

SC-FDMA past op de gegevens een discrete fouriertransformatie (DFT) toe voordat ze op de subdraaggolven worden gezet, en maakt zo een signaal dat op een signaal met één draaggolf lijkt en een kleine PAPR heeft.
Wat is de meest passende belangrijkste reden waarom de upli…

Vragen met “Discrete fouriertransformatie” (2)

Verwante termen

Nyquistfrequentie OFDM (orthogonal frequency-division multiplexing) Convolutie Decimatie Differentievergelijking FIR-filter Frequentieresolutie Groepsvertraging (group delay) IIR-filter Impulsrespons

Naar de woordenlijst