Qu'est-ce que Équation de Black ?
Formule empirique exprimant la durée de vie des interconnexions face à l'électromigration en fonction de la densité de courant et de la température. La durée de vie est inversement proportionnelle à une puissance de la densité de courant et décroît exponentiellement avec la température.
Nom japonais: ブラックの式
« Équation de Black » apparaît dans 2 questions d'entraînement réparties sur 2 thèmes, dont Procédés d'interconnexion, Fiabilité.
Domaine: Procédés d'interconnexion
L'équation et ses termes
L'équation de Black est un modèle empirique du temps médian ou moyen jusqu'à défaillance d'une ligne soumise à l'électromigration : MTTF = A·J^(−n)·exp(Ea/kT). J est la densité de courant, n l'exposant de densité de courant (2 dans la forme originale de Black, des valeurs comprises entre environ 1 et 2 étant rapportées), Ea l'énergie d'activation du chemin de diffusion atomique dominant, k la constante de Boltzmann, T la température absolue, et A une constante qui rend compte du matériau, de la géométrie et de la microstructure. Ea est de l'ordre de 0,5 à 1 eV, selon le métal et selon que les atomes se déplacent principalement le long des joints de grains ou des interfaces.
Extrapoler les résultats d'essais
Aux conditions d'utilisation, les défaillances par électromigration mettraient des années à apparaître ; on soumet donc des structures de test à des températures élevées, autour de 300 °C, et à de fortes densités de courant, puis l'équation extrapole les résultats. Le facteur d'accélération vaut (J_test/J_use)^n multiplié par exp[(Ea/k)(1/T_use − 1/T_test)]. La sensibilité est forte : avec n = 2, diviser la densité de courant par deux quadruple la durée de vie, et avec Ea proche de 0,9 eV, passer de 105 °C à 125 °C réduit la durée de vie d'un facteur quatre environ. L'ajustement de n et Ea nécessite des essais à plusieurs courants et températures.
La physique sous-jacente
L'électromigration se produit parce que les électrons de conduction transfèrent de la quantité de mouvement aux atomes du métal, les poussant lentement dans le sens du flux d'électrons. Là où plus d'atomes quittent une zone qu'il n'en arrivent, par exemple à un via ou à une jonction de joints de grains, des cavités se forment et finissent par ouvrir la ligne ; là où les atomes s'accumulent, des protubérances (hillocks) peuvent créer des courts-circuits avec les lignes voisines. Dans le cuivre, le transport est dominé par l'interface supérieure avec la couche diélectrique de couverture ; des couvertures en cobalt peuvent donc prolonger nettement la durée de vie. L'équation de Black ne rend pas compte des effets de contrainte en retour : des lignes très courtes peuvent être immunisées, car une contrainte mécanique opposée stoppe le flux d'atomes (effet Blech).
Son influence sur les règles de conception
Les fondeurs traduisent l'équation de Black et les données d'essais en densités de courant maximales autorisées par couche métallique, largeur et température, typiquement de l'ordre du MA/cm². Les lignes d'alimentation et de masse, parcourues par un courant continu dans un seul sens, sont les plus critiques. Les lignes de signal, parcourues par un courant alternatif, récupèrent en partie car les atomes vont et viennent ; leurs limites sont donc moins strictes. L'effet Joule élève la température locale des lignes fortement chargées, ce qui rétroagit via le terme exponentiel. Les flux de validation finale (sign-off) vérifient donc l'électromigration conjointement avec la chute ohmique sur le réseau d'alimentation.
Questions fréquentes
À quoi sert l'équation de Black ?
Elle estime la durée de vie des interconnexions face à l'électromigration en fonction de la densité de courant et de la température. Les ingénieurs l'utilisent pour extrapoler les résultats d'essais accélérés aux conditions de fonctionnement et pour fixer les limites de densité de courant des lignes.
Comment la température influence-t-elle la durée de vie en électromigration ?
La durée de vie diminue exponentiellement avec la température, via le terme exp(Ea/kT). Pour une énergie d'activation proche de 0,9 eV, une hausse de 20 °C autour de 105 à 125 °C divise la durée de vie par quatre environ.
Qu'est-ce que l'exposant de densité de courant n dans l'équation de Black ?
Il décrit à quel point la durée de vie dépend de la densité de courant ; Black utilisait à l'origine n = 2. Les valeurs mesurées vont d'environ 1 à 2, selon que la durée de vie est limitée par la nucléation ou par la croissance des cavités.