デジタル信号処理の基礎
差分方程式 y[n] = x[n] + 0.5y[n − 1] で表されるシステムに、n = 0 から単位ステップ(n ≥ 0 で x[n] = 1)を入力した。y[−1] = 0 のとき、y[2] として正しいものはどれか。
- A1.75
- B1.875
- C2
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正解：A. 1.75
順に計算すると、y[0] = 1 + 0.5 × 0 = 1、y[1] = 1 + 0.5 × 1 = 1.5、y[2] = 1 + 0.5 × 1.5 = 1.75 です。このまま続けると y[n] = 2 − 0.5ⁿ となり、最終値 1/(1 − 0.5) = 2 に近づいていきます。過去の出力を使う(帰還がある)ので、インパルス応答 0.5ⁿ が無限に続くIIRフィルタです。
- A. 正しい。1 → 1.5 → 1.75 と変化します。
- B. y[3] の値です。y[0] から数えて2つ先が y[2] です。
- C. n → ∞ での最終値 1/(1 − 0.5) です。y[2] ではまだ到達していません。