デジタル信号処理の基礎
u[n] を単位ステップとする。インパルス応答が次のように表されるLTIシステムのうち、BIBO安定(有界な入力に対して出力が必ず有界)であるものはどれか。
- Ah[n] = (−0.9)ⁿu[n]
- Bh[n] = u[n]
- Ch[n] = (1.1)ⁿu[n]
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正解：A. h[n] = (−0.9)ⁿu[n]
LTIシステムがBIBO安定である必要十分条件は、インパルス応答の絶対値の総和 Σ|h[n]| が有限であることです。h[n] = (−0.9)ⁿu[n] では Σ|h[n]| = Σ0.9ⁿ = 1/(1 − 0.9) = 10 で有限なので安定です。h[n] = u[n] は入力をたし続ける累算器で、総和が無限大になり、一定の入力に対して出力が際限なく増えます。(1.1)ⁿ は時間とともに大きくなるので、不安定です。
- A. 正しい。符号は交互に変わりますが、Σ|h[n]| = 10 で有限です。
- B. 累算器のインパルス応答で、Σ|h[n]| が無限大なので安定ではありません。ステップを入力すると、出力が n + 1 と増え続けます。
- C. |1.1| > 1 なので h[n] が増え続け、不安定です。