數位訊號處理基礎
以差分方程式 y[n] = x[n] + 0.5x[n − 1] + 0.25y[n − 1] 表示的系統，其轉移函數 H(z) = Y(z)/X(z) 為下列何者？
- A(1 + 0.5z⁻¹)/(1 + 0.25z⁻¹)
- B(1 − 0.25z⁻¹)/(1 + 0.5z⁻¹)
- C(1 + 0.5z⁻¹)/(1 − 0.25z⁻¹)
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正確答案：C. (1 + 0.5z⁻¹)/(1 − 0.25z⁻¹)
延遲1個取樣點在z轉換中相當於乘上 z⁻¹，因此兩邊做z轉換得 Y(z) = X(z) + 0.5z⁻¹X(z) + 0.25z⁻¹Y(z)。把 Y(z) 的項移到左邊，得 (1 − 0.25z⁻¹)Y(z) = (1 + 0.5z⁻¹)X(z)，所以 H(z) = (1 + 0.5z⁻¹)/(1 − 0.25z⁻¹)。分子表示輸入側的係數，分母表示輸出回授側的係數；使分母為0的 z = 0.25 是極點，使分子為0的 z = −0.5 是零點。
- A. 把回授項移到左邊時，忘了把係數的符號反轉。
- B. 這是正確 H(z) 的倒數（分子與分母互換）。
- C. 正確。把回授項移到左邊，分母係數的符號會反轉。