數位訊號處理基礎
設4點訊號 x[n] = {1, −1, 2, 0} 的DFT為 X[k] = Σx[n]e^(−j2πkn/4)。Σ|X[k]|²（k = 0～3）為下列何者？
- A1.5
- B6
- C24
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正確答案：C. 24
依帕塞瓦定理，此定義的DFT滿足 Σ|X[k]|² = N·Σ|x[n]|²。Σ|x[n]|² = 1 + 1 + 4 + 0 = 6，因此 Σ|X[k]|² = 4 × 6 = 24。實際求出 X[k] = 2, −1 + j, 4, −1 − j，|X[k]|² = 4, 2, 16, 2，總和也是24。這表示在時間側與頻率側之間，能量（除了係數 N 之外）是守恆的。
- A. 這是 Σ|x[n]|² = 6 除以 N = 4 的值（每個取樣點的平均功率）。
- B. 這是時間側的 Σ|x[n]|² 本身。此定義的DFT是它的 N = 4 倍。
- C. 正確。4 × 6 = 24，實際求出 X[k] 確認也一致。