數位訊號處理基礎
有一個以取樣頻率8 kHz運作、轉移函數為 H(z) = 1 + z⁻²（y[n] = x[n] + x[n − 2]）的FIR濾波器。使輸出為0的正弦波輸入頻率為下列何者？
- A1 kHz
- B2 kHz
- C4 kHz
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正確答案：B. 2 kHz
1 + z⁻² = 0 的解，也就是零點，由 z² = −1 得 z = ±j，位於單位圓上的 ω = ±π/2。ω = π/2 對應 f = ω·fs/(2π) = fs/4 = 2 kHz；2 kHz的正弦波與2個取樣點之前的值恰好符號相反，相加為0。零點位於單位圓上時，會形成把該頻率完全去除的陷波（notch）。在4 kHz（奈奎斯特頻率）時 z⁻² = 1，因此增益為2。
- A. 在1 kHz（ω = π/4）時 z⁻² = e^(−jπ/2) = −j，|1 − j| = √2 ≈ 1.41，不會是0。
- B. 正確。零點 z = ±j 位於 ω = π/2，即 fs/4 = 2 kHz。
- C. 在奈奎斯特頻率（z = −1）時 z⁻² = 1，增益為 1 + 1 = 2。