4点の信号 x[n] = {1, −1, 2, 0} の DFT を X[k] = Σx[n]e^(−j2πkn/4) とする。Σ|X[k]|²(k = 0〜3)として正しいものはどれか。

正解：C. 24

パーセバルの定理により、この定義のDFTでは Σ|X[k]|² = N·Σ|x[n]|² が成り立ちます。Σ|x[n]|² = 1 + 1 + 4 + 0 = 6 なので、Σ|X[k]|² = 4 × 6 = 24 です。実際に X[k] = 2, −1 + j, 4, −1 − j を求めると |X[k]|² = 4, 2, 16, 2 で、和は24になります。時間の側と周波数の側で、エネルギーが(係数 N を除いて)保存されることを表しています。

• A. Σ|x[n]|² = 6 を N = 4 で割った値(1サンプルあたりの平均電力)です。
• B. 時間の側の Σ|x[n]|² そのものです。この定義のDFTでは、その N = 4 倍になります。
• C. 正しい。4 × 6 = 24 で、X[k] を求めて確かめても一致します。