차분 방정식 y[n] = x[n] + 0.5x[n − 1] + 0.25y[n − 1]로 표현되는 시스템의 전달 함수 H(z) = Y(z)/X(z)로 올바른 것은?

정답: C. (1 + 0.5z⁻¹)/(1 − 0.25z⁻¹)

1샘플의 지연은 z 변환에서는 z⁻¹을 곱하는 것에 해당하므로, 양변을 z 변환하면 Y(z) = X(z) + 0.5z⁻¹X(z) + 0.25z⁻¹Y(z)입니다. Y(z)의 항을 좌변으로 모으면 (1 − 0.25z⁻¹)Y(z) = (1 + 0.5z⁻¹)X(z)가 되어 H(z) = (1 + 0.5z⁻¹)/(1 − 0.25z⁻¹)입니다. 분자는 입력 쪽, 분모는 출력의 귀환 쪽 계수를 나타내며, 분모를 0으로 만드는 z = 0.25가 극점, 분자를 0으로 만드는 z = −0.5가 영점입니다.