回路解析(交流回路・線形回路・過渡現象)
図の直列RLC回路で、E = 6 V、R = 4 Ω、L = 1 H、C = 1/3 F とし、初期値はすべて0とする。t = 0 でスイッチを入れた後の電流 i(t) [A] はどれか。
- A3e^(−t) + 3e^(−3t)
- B3e^(−t) − 3e^(−3t)
- C6e^(−t) − 6e^(−3t)
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正解：B. 3e^(−t) − 3e^(−3t)
解き方1(ラプラス変換と部分分数分解): s領域では I(s) = (E/s)/(R + sL + 1/(sC)) = 6/(s² + 4s + 3) = 6/((s + 1)(s + 3)) です。部分分数に分けると I(s) = A/(s + 1) + B/(s + 3) で、A = 6/(−1 + 3) = 3、B = 6/(−3 + 1) = −3 なので、i(t) = 3e^(−t) − 3e^(−3t) A です。解き方2(微分方程式): 特性方程式 s² + 4s + 3 = 0 の根 −1、−3 から i = Ae^(−t) + Be^(−3t) とおき、i(0+) = 0(コイルの電流の連続性)と di/dt(0+) = E/L = 6 A/s から A + B = 0、−A − 3B = 6 を解いて、A = 3、B = −3 です。電流は t = (ln 3)/2 ≈ 0.55 s で最大の約1.15 Aになり、コンデンサが充電されると0に戻ります。
- A. t = 0 で i = 6 A になってしまい、コイルの電流が0から始まる条件に合いません。
- B. 正しい。i(t) = 3e^(−t) − 3e^(−3t) で、i(0) = 0 です。
- C. 部分分数の係数を求めるとき、(s + 3) − (s + 1) = 2 で割るのを忘れた値です。