デジタル信号処理の基礎
y[n] = n·x[n] で表されるシステムの性質として正しいものはどれか。
- A線形で、時不変でもある
- B線形だが、時不変ではない
- C線形ではないが、時不変である
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正解：B. 線形だが、時不変ではない
入力 a·x₁[n] + b·x₂[n] に対する出力は n(a·x₁[n] + b·x₂[n]) = a·y₁[n] + b·y₂[n] なので、線形です。一方、入力を k サンプル遅らせた x[n − k] に対する出力は n·x[n − k] ですが、出力を k サンプル遅らせたものは (n − k)·x[n − k] で、両者は一致しません。例えば入力 δ[n − 1] に対する出力は δ[n − 1] ですが、δ[n − 2] に対する出力は 2δ[n − 2] になり、同じ形が遅れるだけにはなりません。掛ける値が時刻 n によって変わるシステムは、線形でも時不変ではありません。
- A. 線形ですが、掛ける値 n が時刻によって変わるので、時不変ではありません。
- B. 正しい。重ね合わせは成り立ちますが、入力を遅らせても出力は同じ形で遅れるだけにはなりません。
- C. 入力の和に対して出力も和になる(重ね合わせが成り立つ)ので線形です。また、時不変ではありません。