図の回路で、E = 12 V、R1 = 2 Ω、R2 = 4 Ω で、コンデンサとコイルには最初はエネルギーが蓄えられていない。t = 0 でスイッチを入れた直後の電流 i(0+) と、十分に時間がたった後のコンデンサの電圧 vC の組み合わせとして正しいものはどれか。

正解：C. i(0+) = 6 A、vC = 8 V

解き方1(連続性と直流定常状態): コンデンサの電圧とコイルの電流は急に変わらないので、t = 0+ では vC = 0(コンデンサは短絡と同じ)、iL = 0(コイルは開放と同じ)です。電源の電流はすべてコンデンサに流れ込み、i(0+) = E/R1 = 12/2 = 6 A です。十分たつとコンデンサは開放、コイルは短絡と同じになり、i = 12/(2 + 4) = 2 A、vC は R2 の電圧の 2 × 4 = 8 V です。解き方2(ラプラス変換と初期値・最終値の定理): 電源から見たインピーダンスを Z(s) = R1 + (sL + R2 と 1/(sC) の並列) とすると、I(s) = E/(s Z(s)) です。s → ∞ では Z → R1 なので i(0+) = E/R1、s → 0 では Z → R1 + R2 なので i(∞) = E/(R1 + R2) となり、同じ結果になります。

• A. 12 V は、十分たった後もコイルが電流を通さないとして、電源電圧がそのままかかるとした値です。直後はコンデンサの電圧が0なので、コンデンサが短絡と同じになって電流が流れます。
• B. 2 A は十分に時間がたった後の電流で、直後の値ではありません。
• C. 正しい。i(0+) = 6 A、vC(∞) = 8 V です。