回路解析(交流回路・線形回路・過渡現象)
図のRL回路で、E = 12 V、R = 6 Ω、L = 3 H で、最初は電流が流れていない。t = 0 でスイッチを入れてから時定数 τ だけたったときの、コイルの両端の電圧 vL に最も近いものはどれか。
- A約4.4 V
- B約7.6 V
- C12 V
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正解：A. 約4.4 V
解き方1(微分方程式): L di/dt + Ri = E を i(0) = 0 で解くと i(t) = (E/R)(1 − e^(−t/τ))、τ = L/R = 0.5 s で、vL = L di/dt = E e^(−t/τ) です。t = τ では vL = 12 × e^(−1) ≈ 4.4 V です。解き方2(ラプラス変換): I(s) = E/(s(R + sL)) なので VL(s) = sL I(s) = E/(s + R/L) で、逆変換すると vL(t) = E e^(−Rt/L) です。解き方3(初期値と最終値): コイルの電流は急に変わらないので、t = 0+ ではコイルは開放と同じで vL = E = 12 V、十分たつと短絡と同じで vL = 0 になり、その間を時定数 τ で指数関数的に変化します。
- A. 正しい。vL(τ) = 12 × e^(−1) ≈ 4.4 V です。
- B. 約7.6 V は、t = τ での抵抗の電圧 vR = 12(1 − e^(−1)) です。
- C. 12 V はスイッチを入れた直後 t = 0+ の vL です。