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Was ist Rundungsfehler?

Der Fehler, der entsteht, wenn eine reelle Zahl mit endlich vielen Stellen dargestellt und ein nicht darstellbarer Wert auf einen nahen Wert gerundet wird. 0,1 lässt sich als binäre Gleitkommazahl nicht exakt darstellen, daher summieren sich die Fehler bei wiederholter Addition, und zehnmaliges Addieren von 0,1 in doppelter Genauigkeit ergibt nicht 1,0. Reelle Zahlen sollten nicht mit = verglichen und Schleifendurchläufe nicht mit reellen Zahlen gezählt werden.

Japanische Bezeichnung: 丸め誤差

„Rundungsfehler“ kommt in 4 Übungsfragen aus 2 Themen vor, z. B. Computerarithmetik, Grundlagen der Programmierung (Pseudocode nachverfolgen).

Fachgebiet: Grundlagen der Programmierung (Pseudocode nachverfolgen)

Jetzt üben: Fragen zu Rundungsfehler

Welche Wirkung hat es, dass bei normalisierten IEEE-754-Zahlen die führende 1 der Mantisse nicht gespeichert wird (verstecktes Bit)?

  1. ADurch Weglassen der führenden 1 lassen sich negative Zahlen darstellen
  2. BMit derselben Bitzahl steigt die Genauigkeit um 1 Bit
  3. CDurch Weglassen der führenden 1 ist das Rechenergebnis stets exakt
Antwort und Erläuterung anzeigen

Antwort: B. Mit derselben Bitzahl steigt die Genauigkeit um 1 Bit

Bei binärer Normalisierung hat jede Zahl ungleich 0 die Form „1.xxx × 2^Exponent“, die führende Stelle ist also stets 1. Eine feststehende 1 muss nicht gespeichert werden und wird weggelassen; die frei werdende Stelle dient dem Nachkommateil. Daher beträgt die Genauigkeit bei einfacher Genauigkeit 24 Bit, obwohl nur 23 Mantissenbits gespeichert werden. Bei denormalisierten Zahlen, deren Exponent nur aus Nullen besteht, wird die führende Stelle dagegen als 0 angenommen. Negative Zahlen stellt das Vorzeichenbit dar, und Rundungsfehler entfallen dadurch nicht.

Wie heißt das Phänomen, bei dem bei der Subtraktion zweier nahezu gleicher Gleitkommazahlen die gültigen Stellen stark abnehmen?

  1. AInformationsverlust (Absorption)
  2. BÜberlauf
  3. CAuslöschung
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Antwort: C. Auslöschung

Rechnet man mit 7 signifikanten Stellen 1,234567 − 1,234566 = 0,000001, heben sich die oberen 6 Stellen auf, und im Ergebnis bleibt nur 1 gültige Stelle. Der geringe Rundungsfehler, der in den ursprünglichen Zahlen steckte, wird im Ergebnis relativ sehr groß. Das ist Auslöschung; als Gegenmaßnahme wird die Formel umgeformt, um die Subtraktion naher Zahlen zu vermeiden. Informationsverlust (Absorption) ist ein anderes Phänomen, bei dem beim Addieren von Zahlen sehr unterschiedlicher Größe die Stellen der kleineren verloren gehen.

„Rundungsfehler“ in den Erläuterungen

Fragen mit „Rundungsfehler“ (4)

  1. Welche Wirkung hat es, dass bei normalisierten IEEE-754-Zahlen die führende 1 der Mantisse nicht gespeichert wird (verstecktes Bit)?
  2. Wie heißt das Phänomen, bei dem bei der Subtraktion zweier nahezu gleicher Gleitkommazahlen die gültigen Stellen stark abnehmen?
  3. Was ist der Hauptgrund, warum bei kleinen Mikrocontrollern und DSPs häufig Festkomma- statt Gleitkommaarithmetik verwendet wird?
  4. Reelle Werte werden im Format IEEE 754 mit doppelter Genauigkeit (binary64) dargestellt, und jede Summe wird auf den nächstgelegenen darstellbaren Wert gerundet. Welchen Wert hat c, nachdem das folgende Programm ausgeführt wurde?

Verwandte Begriffe

Mantisse Exponent Auslöschung Auslöschung kleiner Summanden (Absorption) Mikrocontroller IEEE 754 Argument Array Bitoperation Ganzzahldivision

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