デジタル信号処理の基礎
離散時間信号 x[n] = cos(1.75πn) と、すべての整数 n で同じ値をとる信号はどれか。
- Acos(0.25πn)
- Bcos(0.75πn)
- Ccos(0.875πn)
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正解：A. cos(0.25πn)
離散時間の正弦波は、n が整数なので、角周波数が 2π ずれてもまったく同じ値の並びになります。cos(1.75πn) = cos(1.75πn − 2πn) = cos(−0.25πn) で、cos は偶関数なので cos(0.25πn) と同じです。これはデジタルの側から見た折り返し(エイリアシング)で、ω = π を超える周波数は、2π − ω の低い周波数と区別できません。サンプリング周波数で言えば、0.875fs の正弦波が 0.125fs の正弦波と同じサンプル列になることに当たります。
- A. 正しい。1.75π − 2π = −0.25π で、cos は偶関数なので同じ値になります。
- B. 1.75π から π を引いた値です。π ずらすと cos(1.75πn) = (−1)ⁿcos(0.75πn) となり、奇数番目のサンプルの符号が反転します。
- C. 1.75π を2で割った値です。角周波数を半分にしても、同じ値の並びにはなりません。