デジタル信号処理の基礎
離散時間信号 x[n] = cos(0.3πn) の基本周期(すべての整数 n で x[n + N] = x[n] となる最小の正の整数 N)として正しいものはどれか。
- A約6.7サンプル
- B20サンプル
- C周期をもたない(周期的ではない)
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正解：B. 20サンプル
離散時間の正弦波 cos(ω₀n) は、ω₀/2π が有理数 k/N(既約分数)のときに限って周期的で、基本周期は N です。ω₀/2π = 0.3π/2π = 0.15 = 3/20 なので、N = 20 サンプル(その間にちょうど3周期)です。連続時間の感覚で 2π/ω₀ ≈ 6.67 とすると整数にならず、サンプルの位置が1周期ごとにずれてしまいます。cos(n) のように ω₀/2π = 1/(2π) が無理数の場合は、どれだけ待っても同じ値の並びに戻らないので、周期的ではありません。
- A. 2π/ω₀ = 2/0.3 ≈ 6.67 は連続時間の周期です。サンプル番号は整数なので、6.67サンプルごとに同じ値に戻ることはありません。
- B. 正しい。0.3π/2π = 3/20 なので、20サンプルで3周期となり元に戻ります。
- C. ω₀/2π = 0.15 は有理数なので周期的です。周期的でないのは、ω₀/2π が無理数の場合です。