回路解析(交流回路・線形回路・過渡現象)
図のRC回路で、E = 10 V、R = 2 kΩ、C = 1 µF とし、コンデンサは最初に図の + 側が高くなる向きに4 Vに充電されている。t = 0 でスイッチを入れてから時定数 τ だけたったときの電流 i に最も近いものはどれか。
- A約1.1 mA
- B約1.8 mA
- C3.0 mA
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正解：A. 約1.1 mA
解き方1(初期値と最終値): コンデンサの電圧は急に変わらないので、t = 0+ では vC = 4 V のままで、i(0+) = (10 − 4)/2 kΩ = 3 mA です。十分たつと i = 0 になり、その間を時定数 τ = RC = 2 ms で指数関数的に変化するので、i(t) = 3e^(−t/τ) mA、i(τ) = 3 × e^(−1) ≈ 1.1 mA です。解き方2(ラプラス変換): コンデンサを 1/(sC) と直列の電圧源 V0/s で表すと、I(s) = ((E − V0)/s)/(R + 1/(sC)) = ((E − V0)/R)/(s + 1/(RC)) で、逆変換すると同じ i(t) になります。解き方3(微分方程式): RC dvC/dt + vC = E を vC(0) = 4 V で解くと vC = 10 − 6e^(−t/τ) で、i = C dvC/dt からも同じ式が得られます。
- A. 正しい。i(τ) = 3 mA × e^(−1) ≈ 1.1 mA です。
- B. 約1.8 mA は、初期電圧を無視して (10 V/2 kΩ) × e^(−1) とした値です。
- C. 3.0 mA はスイッチを入れた直後 t = 0+ の電流です。