回路解析(交流回路・線形回路・過渡現象)
図のRC回路で、E = 10 V、R = 10 kΩ、C = 100 µF で、コンデンサは最初は充電されていない。t = 0 でスイッチを入れてから2秒後のコンデンサの電圧 vC に最も近いものはどれか。
- A約6.3 V
- B約8.6 V
- C約9.5 V
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正解：B. 約8.6 V
解き方1(微分方程式): 回路の式は RC dvC/dt + vC = E で、vC(0) = 0 の解は vC(t) = E(1 − e^(−t/RC)) です。τ = RC = 10×10³ × 100×10⁻⁶ = 1 s なので、vC(2) = 10(1 − e^(−2)) ≈ 10 × 0.865 ≈ 8.6 V です。解き方2(ラプラス変換): s領域では VC(s) = (E/s) × (1/(sC))/(R + 1/(sC)) = E/(s(1 + sRC)) で、部分分数に分けると E(1/s − 1/(s + 1/RC)) となり、逆変換すると同じ式になります。解き方3(時定数の目安): 1τ で63%、2τ では残りの37%のさらに63%が加わって約86%に達するので、約8.6 Vと見積もれます。
- A. 約6.3 V は t = τ = 1 s での値です。
- B. 正しい。vC(2 s) = 10(1 − e^(−2)) ≈ 8.6 V です。
- C. 約9.5 V は t = 3τ = 3 s での値です。