邏輯閘是什麼？用AND、OR、NOT計算的原理

生活中的例子

微波爐要在門關好，而且按下開始鍵時，才會開始加熱。汽車只要有任何一扇門沒關，就會亮起警示燈。樓梯的電燈，不論用樓上或樓下的開關，都能打開或關掉。

這3個例子，都是「根據幾個條件，決定要不要動作」的規則。第1個是「兩個條件都成立時」，第2個是「只要有任何一個」，第3個是「2個開關的方向相同還是不同」。用0和1來計算這種規則的小電路，就是邏輯閘。

實際的微波爐和汽車，有很多是交給微控制器（小型電腦晶片）做這類判斷。而微控制器的內部，也是由邏輯閘組成的。

邏輯閘是「遵守0和1規則的電路」

在電腦的電路中，電壓高的狀態當作1，低的狀態當作0。邏輯閘從入口（輸入）接收0或1，再從出口（輸出）送出0或1。輸入的數量，有1個的，也有2個以上的。什麼輸入會得到什麼輸出，依邏輯閘的種類而定，不會改變。

邏輯閘的規則，用表格寫出來就很清楚。列出所有輸入組合與當時輸出的表，稱為真值表。輸入有2個時，組合是00、01、10、11共4種，所以表格只要4列。

另外，這裡說的「閘」，是處理0和1的電路的一個單位。電晶體的一個電極（電的出入口）也叫做「閘極」，但意思不同。

基本的3種：NOT、AND、OR

NOT：變成相反

NOT閘（反閘）只有1個輸入，輸入0就輸出1，輸入1就輸出0。因為會把輸入反過來，也稱為反相器。

AND：兩個都是1時才是1

AND閘（及閘）只有在輸入兩個都是1時，才輸出1。只要有一個是0，就輸出0。這相當於微波爐「門關好」而且「按下按鍵」的判斷。

OR：任一個是1就是1

OR閘（或閘）只要輸入中任一個是1，就輸出1。只有兩個都是0時，才輸出0。這相當於汽車「只要有任何一扇門開著就警示」。

AND和OR的輸入不一定是2個。如果是3輸入的AND，就只有3個都是1時才輸出1。

加上反相的同伴，以及XOR

把AND的輸出用NOT反過來，稱為NAND閘（反及閘）。名稱是Not AND的縮寫。同樣地，把OR反相的是NOR閘（反或閘）。NAND是「兩個都是1時才是0」，NOR是「兩個都是0時才是1」。

另一種常用的是XOR閘（互斥或閘）。它在2個輸入不同時，也就是只有其中一個是1時，輸出1。樓梯的電燈，用的就是和XOR相同的性質。切換任一個開關，2個開關的方向就會在「相同」和「不同」之間交換，電燈也跟著亮或滅。

NAND這一欄，就是把前面AND那一欄的0和1全部對調。NOR這一欄，也是把OR那一欄對調而成的。

用開關的串聯和並聯來想

AND和OR可以用電池、燈泡和開關的電路來想像。把2個開關接成一排，稱為串聯；分成2條路並排，稱為並聯。在下圖中，請把開關接通的狀態當作1，燈泡亮起當作1。

串聯時，電必須通過A和B兩個開關，才能到達燈泡。所以只有兩個都接通時，燈泡才會亮。這和AND的真值表相同。並聯時，電走哪一條路都可以，所以只要接通其中一個就會亮。這和OR相同。

開關電路和0與1的邏輯計算是互相對應的。在1930年代把這件事寫成論文的，是後來創立資訊理論的克勞德·夏農。他證明了電話交換機所用的繼電器（用電磁鐵帶動的開關）電路，可以用算式整理並設計出來。

用電晶體做出邏輯閘

晶片裡的邏輯閘，是用稱為MOSFET的電晶體做成的。MOSFET是用加在閘極上的電壓，讓電流的通路接通或切斷的開關。這個原理在「電晶體是什麼？」中說明。

MOSFET有動作完全相反的2種。nMOS在輸入為1時接通，pMOS在輸入為0時接通。把這2種組合起來做邏輯閘的方式稱為CMOS，現在的晶片幾乎都採用這種方式。最簡單的NOT閘，只要pMOS和nMOS各1個，共2個就能做出來。

NAND閘用4個電晶體

2輸入的NAND閘，由2個pMOS和2個nMOS，共4個電晶體組成。在讓輸出變成1的電源＋端，把2個pMOS並聯。在讓輸出變成0的0 V端，把2個nMOS串聯。

A和B都是1時，串聯的2個nMOS都會接通。輸出接到0 V端，變成0。這時2個pMOS都是斷開的。

A或B其中一個是0時，串聯的nMOS有1個斷開，通往0 V端的路就沒有了。取而代之的是，輸入0的那個pMOS接通，輸出接到電源的＋端，變成1。這樣就做出了「兩個都是1時才是0」的NAND規則。

不論是哪一種輸入，上下兩條路中一定有一條是斷開的。電流不會一直從電源流到0 V端，所以保持輸出時幾乎不耗電。這就是CMOS的優點。

AND比NAND更費工

在CMOS中，輸入變成1時nMOS會接通，把輸出拉向0 V端。因此，只用上下各一組pMOS和nMOS就能做出的，只有輸入變成1時輸出會變成0的邏輯閘。NOT、NAND、NOR都是這種形式。AND通常是在NAND後面接一個NOT，用4個＋2個共6個電晶體做成。OR也一樣，是在NOR後面接NOT做成的。

只用NAND，就能做出任何電路

NAND閘有一個有趣的性質。只要把大量的NAND組合起來，從NOT、AND、OR開始，任何規則的電路都做得出來。具有這種性質的邏輯閘，稱為萬用邏輯閘。

首先是NOT的做法。在NAND的2個輸入都送進同一個訊號A。真值表中「0和0」那一列輸出1，「1和1」那一列輸出0。也就是會輸出和A相反的值，所以能當作NOT使用。

接著是AND。NAND是「把AND反相的東西」，所以把它的輸出再反相一次，就變回AND。反相就用剛才用NAND做的NOT。用2個NAND，就能做出AND。

OR的做法，是先把A和B分別用NOT反相，再送進NAND。A和B都是0時，反相後兩個都是1，NAND輸出0。其他情況下，反相後的輸入至少有一個是0，輸出就是1。這正是「兩個都是0時才是0」的OR規則。像這樣「搭配反相，就能讓AND和OR互換」的規則，稱為笛摩根定理。只要能做出NOT、AND、OR，任何真值表的電路都組得出來。

同樣的事，NOR閘也辦得到。1969年登陸月球的阿波羅太空船，它的導引電腦就利用了這個性質。所用的IC（積體電路）約2,800個，幾乎全是「內含2個3輸入NOR閘的IC」這一種。當時的IC還很新，是使用實績很少的零件。因為需要很高的可靠度，就統一成單純的一種，讓可靠度更容易確認。

不過，現在的晶片並不是只用NAND做的。只用NAND的話，即使是功能相同的電路，零件也會變多，而且容易變慢。實際的設計中，除了NAND、NOR、NOT，也會把常用的組合整合成一個零件，依用途分別使用。

組合邏輯閘來計算

把邏輯閘的輸出接到下一個邏輯閘的輸入，就能做出更複雜的規則。例如，二進位1位數的加法，只要並排1個XOR和1個AND就能完成。XOR算出「這一位的答案」，AND算出「往上一位的進位」。這個電路稱為半加器。

把半加器擴充成可以加任意位數的方法，在「電腦怎麼用0和1計算？」中有詳細說明。另外，在邏輯電路模擬器中，可以排列邏輯閘、切換開關，做出真值表來確認。也能載入「只用NAND做出XOR」的範例。

像加法電路這樣，輸出只由當下的輸入決定的電路，稱為組合電路。另一方面，如果把邏輯閘的輸出接回自己的輸入，也能做出記住先前狀態的電路。這種電路稱為循序電路，在CPU中用來記住計算途中的數字。兩者的差異，可以在「組合邏輯電路與循序邏輯電路的差異」的表格中比較。

邏輯閘有「延遲」

即使切換了邏輯閘的輸入，輸出也不會在那一瞬間改變。因為電晶體切換、把電存進下一個邏輯閘的輸入，都需要一點時間。從輸入改變到輸出改變為止的時間，稱為傳播延遲。

舉例來看當作零件販售的NAND閘IC「74HC00」的說明書（資料手冊）。在電源4.5 V下使用，依規定的測試條件量到的延遲，典型值是9奈秒（奈是10億分之1）。晶片裡的邏輯閘小得多，連接的對象也很近，所以延遲是皮秒（1兆分之1秒）等級。

CPU配合稱為時脈的固定間隔訊號，一步一步推進計算。在1次訊號的間隔中，訊號要依序通過好幾級邏輯閘，並且在下一次訊號之前讓答案穩定下來。因此，經過的邏輯閘最多、延遲最大的路徑，決定了時脈最快能到多少。這條路徑稱為關鍵路徑。

用數字來想一想。3 GHz的時脈，訊號的間隔約333皮秒。為了說明，假設1級的延遲是10皮秒，最多只能串接約33級。實際上，還必須扣掉配線的延遲，以及記住答案的電路所需的時間。配線延遲的原理，在「時間常數RC是什麼？」中說明。

常見的誤解

從數字來看

在晶片設計中，有時會用「相當於幾個2輸入NAND閘」來表示電路的大小。把A17 Pro的約190億個單純除以NAND的4個，約相當於48億個（本站的粗略計算）。不過，實際的晶片中，也有很多像記憶用電路這類和邏輯閘形狀不同的部分。這個數字只是用來估計大小的參考。

進一步學習

• 動手試試：邏輯電路模擬器（把邏輯閘連起來讓它動作）、卡諾圖與邏輯式化簡工具（用更少的邏輯閘做出相同功能）
• 用表格看差異：CMOS與TTL的差異（製作邏輯閘的2種方式）、nMOS與pMOS的差異
• 下一步的用語：多工器（選擇輸入並讓它通過的電路）、正反器（記住1位元的電路）、突波（因延遲差而瞬間出現的錯誤輸出）
• 用圖來看：NOT閘的電晶體排列，可以在圖解「CMOS反相器」中看到
• 繼續閱讀：邏輯閘的集合如何執行指令，在「CPU是什麼？」中說明