電腦怎麼用0和1計算？二進位與加法電路

生活中的例子

在手機的計算機App按「6+7」，馬上就會出現「13」。照片裡排著數百萬個彩色的點，訊息裡排著一個個中文字。這些數字、顏色和文字，在手機裡全都是以0和1的排列來記住和計算的。

可是，明明只有0和1，要怎麼表示13，又怎麼把6和7相加呢？這篇文章會從數字的表示方法開始，一路看到做加法的電路內部。

為什麼只用0和1這2種

電腦零件的核心，是稱為電晶體的小開關。開關會切換讓電通過或不通過。在電路中，這會變成電壓的「高」和「低」。這2種狀態，就約定稱為「1」和「0」。

你可能會想，那把電壓分成10個等級，直接表示0～9的數字不就好了？可是，電路的電壓會受到其他配線的影響和溫度等因素，一直有些微的晃動。分成10個等級，相鄰等級的差距就變小，晃動時容易讀錯。

如果只有「高」和「低」2種，兩者之間就能留出很大的空隙。稍微晃動，也幾乎不會讀錯。晃動到多大還不會讀錯的餘裕，稱為雜訊邊限。要讓數十億個開關一個都不讀錯地運作，這種確實性不可或缺。開關的原理，在「電晶體是什麼？」中說明。

用二進位來數數

平常寫數字的方法，是使用10個數字（0～9）的「十進位」。在十進位中，從右邊起是個位、十位、百位，每往左1位，位的大小（位值）就變成10倍。例如345，意思是3個100、4個10、5個1。

只用0和1這2個數字來寫數的方法，稱為「二進位」。原理和十進位相同，不同的是位值。二進位從右邊起是1、2、4、8、16，每往左1位就變成2倍。每一位不是0就是1，所以表示的是那一位的位值「要用」還是「不用」。

從二進位到十進位：1101是13

把二進位轉成十進位，只要把是1的位的位值加起來。以1101來說，從左邊起，位值8的位是1，位值4的位是1，位值2的位是0，位值1的位是1。8+4+1，就是13。

從十進位到二進位：13是1101

反過來，要把13轉成二進位，就重複「除以2，記下餘數」。

1. 13÷2=6 餘1（位值1的位）
2. 6÷2=3 餘0（位值2的位）
3. 3÷2=1 餘1（位值4的位）
4. 1÷2=0 餘1（位值8的位）

商變成0就結束。把餘數從下往上排，就是1101。因為第1個餘數是位值1的位，下一個是位值2的位，是從右邊的位依序決定的。想用其他數字試試看的人，可以用進位轉換與二補數工具確認答案。

位元與位元組

二進位的1位，也就是一個0或1，稱為「位元」（bit）。這是英文binary digit（二進位的位數）的縮寫。1個位元能表示的，只有0和1這2種。

位元每增加1個，能表示的排列方式就變成2倍。2個位元是00、01、10、11這4種，3個位元是8種。4個位元是16種，能表示0到15。

在電腦中，8個位元合成一組，稱為「1位元組」（byte）。8個位元的排列方式，是2乘8次的256種。所以1位元組能表示0到255的整數。記憶體和儲存空間的「GB」，也是以位元組為單位的量。

用手算算看二進位的加法

二進位的加法，也和十進位的直式計算一樣，從右邊的位依序相加。1位和1位的加法，只有下面4種。

• 0+0=0
• 0+1=1、1+0=1
• 1+1=10（二進位的「10」就是2。這一位是0，再往上一位送1）

這就和十進位的9+1變成10，往上一位送1一樣。這種「往上一位送1」，稱為進位。在二進位中，1+1馬上就會進位。

舉例來說，用4位的二進位計算6+7。為了湊成4位，在左邊補0，6是0110，7是0111。

位值1的位是0+1=1。位值2的位是1+1=10，所以寫0並進位。位值4的位是1+1再加上進位的1，等於11，寫1後再進位。位值8的位是0+0+1=1。答案1101，就像前面看到的，是13。

做加法的電路：半加器

接下來，把這個加法做成電路。材料是「邏輯閘」。這是輸入0和1後，依固定規則輸出0或1的小電路，用數個到十幾個電晶體連接而成。這裡使用下面3種。

• AND：2個輸入都是1時，才輸出1
• OR：輸入中只要有1個是1，就輸出1
• XOR：2個輸入不同時（只有一方是1時），輸出1

把要相加的2個1位數設為A、B，把前面4種加法做成表。列出輸入的所有組合，以及當時輸出的表，稱為真值表。1列代表1種組合。最後一列的意思是，1+1的答案是「進位1、和0」，也就是10。

「和」這一欄，只有A和B不同時才是1。這正是XOR的規則。「進位」這一欄，只有兩者都是1時才是1，是AND的規則。也就是說，只要並排1個XOR和1個AND，就能做出1位加法的電路。這稱為「半加器」。

連進位也一起加：全加器

半加器能把2個數的1位相加。但是，像6+7位值4的位那樣，從第2位起，還必須一起加上從下一位來的進位。把3個1位數（A、B、從下一位來的進位）相加，輸出和與往上的進位的電路，稱為全加器。

全加器的功能，可以換句話說成「用二進位回答3個輸入中有幾個1」。輸入的組合有8種，但依1的個數整理，真值表就是下面4列。

6+7位值4的位，是1、1和進位的1，共有3個1。就像表的最後一列，結果是進位1、和1。全加器可以用2個半加器和1個OR閘做出來。先用第1個半加器把A和B相加，再用第2個半加器把那個和與下一位來的進位相加。2個半加器中只要有一個產生進位，OR閘就讓往上的進位變成1。在邏輯電路模擬器中，可以載入半加器和全加器的範例，切換開關確認運作。

把全加器排起來，幾位數都能加

依位數把全加器橫向排列，把每個進位輸出，接到上一位的全加器。這樣就成為幾位數都能相加的電路。4位就用4個全加器，64位就用64個。下圖是用這個電路，計算前面的6+7的情形。

這種排法，進位會從低位往高位，像漣漪（英文是ripple）一樣依序傳遞。所以稱為漣波進位加法器。構造很簡單，但高位要等到下面的進位傳來，答案才會確定。64位的話，最壞要等64級。

所以實際的CPU，會用提前算出進位等更快的方法。幾種方法的差異，整理在「漣波進位、先行進位、進位保留加法器的差異」的表格中。

另外，電路的位數是固定的。用4位的電路計算9+8，答案17（10001）有5位。最上面的1放不進去，答案變成0001，也就是1。這稱為「溢位」（overflow），有時會成為程式錯誤的原因。

負數的表示方法：二補數

因為只有0和1，「−」號也必須用0和1來表示。現在幾乎所有的電腦，都用二補數這個方法表示負整數。以4位（4位元）來說明，就是把最左邊那一位的位值，規定為「−8」而不是「8」的方法。

按照這個規定，1101是−8+4+0+1，等於−3。0111是+7，1000是−8，1111是−1。4位元能表示−8到+7共16種。同樣是1101，用不使用負數的規定（無號）來讀，就是13。是哪一種意思，不是由位元的排列決定，而是由程式怎麼讀來決定。

要把一個數的正負號反過來，就把所有位的0和1對調，再加1。以3（0011）為例，對調後是1100，加1是1101，就是−3。

這個方法的好處，是前面的加法電路可以直接使用。計算5+（−3），0101+1101=10010。和9+8時一樣，第5位的1放不進4位元的電路。剩下的是0010，也就是2，和5−3=2相符。在二補數中，丟掉這個1，就會得到正確的答案。

減法和乘法，也能用加法做出來

使用二補數，減法就變成「加上負數」。要計算A−B，只要把B的0和1對調、加1後，再加到A上就好。對調是NOT閘（把0和1反過來的邏輯閘）的工作。加1則只要把輸入到位值1那個全加器的進位設為1就能做到。這樣，1個加法電路就能同時做加法和減法。

乘法要用到移動位數的操作。在十進位中，在數字右邊加1個0，就變成10倍。同樣地，在二進位中，把整體往左移1位、右邊補0，就變成2倍。這個操作稱為「位移」。

例如6×5，因為5是4+1，所以是6×4和6×1的和。把6（110）移2位，變成11000，也就是24，再加上110（6），得到11110，也就是30。二進位的乘法，可以用「移位」和「相加」的反覆來計算。位移的運作，可以用位元運算計算工具確認。

不過，這裡的說明為了呈現原理，做了簡化。實際的CPU有專用電路，能把乘法途中的數一次加起來，比一次加一個快得多。

文字和顏色，也用數字表示

文字是替每個字決定號碼，再把號碼用二進位記住。這種號碼的規定稱為「字元編碼」。在1963年訂出第1版的ASCII字元編碼中，英文字母「A」是65號，用7個位元表示是1000001。

中文字也有號碼。在替全世界文字編號的Unicode中，「中」是20013號。在常用的儲存格式（UTF-8）中，「中」用3個位元組來記住。

顏色是用數字，分別表示光的三原色紅、綠、藍（RGB）的亮度。常用的格式中，每種顏色用8個位元（0～255的256個等級）表示。組合是256×256×256，約1,678萬色。照片就是把這些顏色的數字，依畫面的點數排列起來。

常見的誤解

從數字來看

位元每增加1個，能表示的排列方式就變成2倍。10位元是1,024種，20位元約105萬種，30位元約10億7千萬種。記住每增加10位元，大約變成1,000倍，會很方便。「1KB是1,024位元組」的算法，也是從這裡來的。另外，現在電腦和手機的CPU，大多能用1個指令把64位元的數相加。

進一步學習

• 用表格看差異：定點數與浮點數的差異（小數的表示方法）、組合邏輯電路與循序邏輯電路的差異（負責計算的電路，和負責記住的電路）
• 下一步的名詞：先行進位加法器（提前算出進位）、算術位移（移動負數時）、位元運算（在程式中直接處理位元）
• 用圖來看：NOT閘用2個電晶體做成的原理，可以在圖解「CMOS反相器」中看到
• 接著閱讀：用這個加法電路來執行指令的零件，就是「CPU是什麼？」