中置記法の式を逆ポーランド記法(後置記法)に変換し、演算子をいつスタックに積み、いつ取り出すのかを1字句ずつ表で示します。ポーランド記法(前置記法)と構文木も表示し、変数に値を入れるとスタックを使った計算の様子も確かめられます。逆ポーランド記法の式から、かっこを最小限にした中置記法に戻すこともできます。
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演算子の優先順位は、^ が最も高く、次に × ÷、最も低いのが + − です。同じ順位の + − × ÷ は左から、^ は右から計算します。÷ は割り切れないときも小数で計算します。
ほかの入力は今の値のまま、選んだ入力だけを今の値の1/4〜4倍の範囲で変えたときの結果です。赤い点が今の値です。
ふだん書く A + B のように、演算子を2つの値の間に置く書き方を中置記法といいます。これに対して、A B + のように演算子を値の後ろに置くのが逆ポーランド記法(後置記法)、+ A B のように前に置くのがポーランド記法(前置記法)です。逆ポーランド記法では、演算子の優先順位やかっこがなくても計算の順番が一通りに決まります。たとえば (A + B) × (C − D) は A B + C D − × となり、かっこが消えます。この性質から、電卓やプログラミング言語の処理系、スタックマシンの命令列などで使われています。
逆ポーランド記法の式は、左から順に読みながらスタックを1つ使うだけで計算できます。数や変数ならスタックに積み、演算子なら上から2つの値を取り出して計算し、結果を積みます。取り出した2つのうち、先に取り出した(上にあった)ほうが右側の値になることに注意します。5 1 2 + 4 × + 3 − では、1 + 2 = 3、3 × 4 = 12、5 + 12 = 17、17 − 3 = 14 の順に計算され、最後にスタックに残った14が答えです。例を選び、計算の表でスタックの変化を確かめてみてください。
中置記法の式を逆ポーランド記法に直すには、ダイクストラが考えた操車場アルゴリズムを使います。式を左から読み、数や変数はそのまま出力します。演算子は、スタックの上に優先順位が同じか高い演算子があればそれを出力してから積みます(べき乗のような右結合の演算子では、より高いものだけを出力します)。開きかっこは積み、閉じかっこが来たら開きかっこまでの演算子をすべて出力します。最後にスタックに残った演算子を出力すれば完成です。A + B × C では × のほうが優先順位が高いので + の上に積まれ、A B C × + となります。
式は、演算子を節、数や変数を葉とする構文木(二分木)で表せます。この木を「左の子、右の子、節」の順にたどる(後行順、帰りがけ順)と逆ポーランド記法、「節、左の子、右の子」の順(先行順、行きがけ順)だとポーランド記法、「左の子、節、右の子」の順(中間順、通りがけ順)だと中置記法になります。コンパイラは、ソースコードの式を構文解析して抽象構文木を作り、それをたどってスタックマシンの命令や機械語を出力します。試験では、式や木から逆ポーランド記法を答える問題や、木のたどり方の名前を問う問題がよく出ます。
正解：C. 9
3、4を積み、+ で取り出して 3 + 4 = 7 を積みます。次に2を積み、* で 7 × 2 = 14 を積みます。5を積み、− で先に積まれた14から後の5を引いて 14 − 5 = 9 が結果です。後置記法は演算の順番が並びで決まるのでかっこが要らず、通常の式では (3 + 4) × 2 − 5 に当たります。−9は引き算の左右を取り違えた値、6はかっこを付けずに 3 + 4 × 2 − 5 と読んだ値です。
正解：A. 根は + の節で、その右の子が 3 * 4 を表す * の節になる
掛け算は足し算より優先順位が高いので、この式は 2 + (3 * 4) と解釈されます。抽象構文木では先に計算する演算ほど下に置かれるので、根は + で、その左の子が2、右の子が3と4を子にもつ * の節になります。木を下から評価すると、3 * 4 = 12 を先に計算し、2 + 12 = 14 が得られます。根が * になるのは (2 + 3) * 4 と書いた場合で、すべてを根の子に並べると計算の順番が表せません。
A B − C − です。− は左から計算する(左結合の)演算子なので、(A − B) − C と同じ意味になります。A − (B − C) なら A B C − − で、結果が変わります。
演算子が来た時点で、直前の2つの値(またはそれまでの計算結果)に必ず適用されるので、どの値どうしを計算するかが書かれた順番だけで決まるからです。中置記法では、同じ並びでも優先順位やかっこによって計算の順番が変わります。
このツールは2つの値をとる演算子(二項演算子)だけに対応しています。符号のマイナスは (0 − A) のように書いてください。実際の処理系では、単項マイナスを別の演算子として扱います。
基本情報技術者試験などでは、中置記法の式を逆ポーランド記法で表したものを選ぶ問題、逆ポーランド記法の式の値を求める問題、構文木のたどり方の問題がよく出ます。例を選んで、表の動きを自分の手順と比べてみてください。